前処理された多面体と平面の分離

多面体の分離に関するドブキンとカークパトリックの論文の1つのステップを理解するのは深刻な問題です。このバージョンを理解しようとしています：http : //www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/SCG-09-invited/old%20papers/DPD+Kirk.pdf

とによって実現される $P_{i}$ との最適な分離を知った後、ステップでとの最適な分離を見つけることができると主張します。これは次の方法で行われます。を介して平行な平面を取り、を2つの部分に切断します。一方では、最も近い点は $S$ $r_i$ $s_i$ $P_{i-1}$ $S$ $O(1)$ $S$ $r_i$ $P_{i-1}$ $S$ $r_i$ もう一方には、時間でチェックできる「基本」多面体があります。私の問題は、この基本的な多面体をどのように見つけるかということです。度という注意における無制限であるかもしれません。 $O(1)$ $r_i$ $P_{i-1}$

9ページのThm 5.1を証明するpdfでは、4ページのThm 3.1を使用しているため、全体の理解が難しくなっています。

ds.algorithms cg.comp-geom

— domotorp
ソース

JeffEの答えが私にとって明確ではないと言う説明で賞金を提供し、彼の答えへのコメントで私がそれで私の問題を指定している場合、なぜ人々は私の答えを返さずに彼の答えを支持し続けるのでしょうか？質問？また、彼の答えは自動的に賞金をもらえるのだろうか？

— domotorp

賛成票は、答えが価値のあるものを提供することを示します。まさにあなたが望んでいたものではありません。実際、あなたが必要とする答えは、一般的な提案の改良であるように見えました。また、なぜ他の誰かの賛成票を心配するのですか？

— Suresh Venkat

回答:

回答を更新し、ゼロから書き直しました。

ポリトープが与えられます。P.これにDobkin-Kirkpatric階層を実行し、あなたにpolytopsのシーケンス与え。クエリポイント最も近い上のポイントを見つけたいとします。最も近い点計算することによって、基本的なアルゴリズムが開始をに、それは、すべての新しい領域（テント）に隣接考慮、最も近い点を見つけるに $P$ $P_1 \subseteq P_2 \subseteq \ldots \subseteq P_k = P$ $P$ $q$ $c_1$ $q$ $P_1$ $c_1$ $c_2$ $q$ これらの新しい領域で、に達するまでこの方法で続けます。 $P_k$

さて、が端にある場合、問題はありません。この端に触れるテントは2つだけ、または端を覆うテントは1つだけです。そのため、この場合、から更新するには一定の時間がかかります。 $c_i$ $c_{i+1}$ $C_i$

したがって、問題は、が高度の頂点にあるときです。これは、に移動するときにそれに隣接する新しいテントの数が多くなる可能性があるためです。これを克服するために、低次の頂点のコレクションとして大次の頂点をシミュレートします。具体的には、各段階で、場合頂点上にある、我々は、2つの連続するエッジを覚えしようとしているに隣接するに、そのようなその最も近い点における $c_i$ $P_{i+1}$ $c_i$ $v$ $e_i, e_i'$ $v$ $q$ $P_{i+1}$ これらの2つの端のいずれかに隣接するか、それらのいずれかを覆うテントの上にあります。そのため、必要な計算を一定の時間で実行できます。

したがって、登るときにこれら2つのエッジを追跡する方法の問題が残ります。

そのためには、すべての頂点の接線方向事前計算します。ましょうの頂点図である凸多角形とすることがポリゴンのための（頂点図形を画定する面とは方向の正常た）。概念的には、 $v$ $P$ $t_v$ $Q_i(v)$ $v$ $P_i$ $t_v$ $Q_1(v), Q_2(v), ..., Q_k(v)$ 2D DK階層のように動作します。上の最も近い点もしに頂点上に位置に、この対応すると隣接するエッジにエッジ、で頂点図の平面と交差。上の最も近い点ならばにエッジ上の嘘、あなたは隣接する2つのエッジを覚えの2つの頂点を定義（ここでは $Q_i(v)$ $q$ $w$ $v$ $e$ $P_i$ $e$ $w$ $Q_i(v)$ $q$ $e'$ $P_i$ $e'$ に属し $e'$ 。 $Q_i(v)$

そして、これで完了です...実際、が場合は、一定の時間で更新できます（これは単なる2D DK階層であるため）。一方、がにない場合は、前の点隣接するか、それをカバーする新しいテントに属している必要があります。どちらの場合でも、一定の時間で更新できます。 $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i}$

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

更新された回答。今それが意味をなすかどうかを確認してください。これが、このデータ構造について私が考える方法です。論文の内容とは無関係かもしれません。

— サリエルハーペレ

わかりました、ありがとう！そのため、最初に接線方向を選択し、常に変更しないようにするのがコツです。古い回答に関連する以前のコメントを削除しました。もう一度ありがとう！

— domotorp

はい。お力になれて、嬉しいです！

— サリエルハーペレ

定理3.1では、の階層表現がコンパクトであることが必要です。小型化のための要件の一つは、度ということであるにおける定数によって制限されます。3ページの下部を参照してください。 $P$ $r_i$ $P_{i-1}$

Dobkin-Kirkpatrick階層の定義と構成は、以前の論文でより明確になっています（あなたが読んでいる論文の[9,10,11]を参照）。最初にそれらを読むことを強くお勧めします。

— ジェフス
ソース

の頂点の次数が制限されていることを保証すると思います。

の次数を制限する方法を確認できません。たとえば、2つの頂点がすべての頂点に接続されている多面体がある場合、どのように開始できますか？Pi−1∖Pi $P_{i-1}\setminus P_i$

ri $r_i$

— domotorp

すべてが次数4である他の頂点の1つを使用（実際、次数4の頂点の独立したサブセットを使用）。点

は

の頂点ですが、

頂点ではありません。ri $r_i$

Pi−1 $P_{i-1}$

Pi $P_i$

— ジェフ

誤解があります。私が説明したアルゴリズムでも、

は

頂点、特に

最も近いものだと思います。私が間違っている？ri $r_i$

Pi $P_i$

S $S$

— domotorp

これは、これらの標準の1つであると思われますが、退屈な一般的なポジションの仮定です。実行時間を気にしない場合は、

頂点を、

非常に近い2つの頂点にいつでも置き換えることができます（三角形の面を主張する場合）。全て度が10未満であるまですべての頂点までこれを繰り返しd $d$

d/2+3 $d/2 + 3$

— サリエルのHar-Peledは、

@サリエル：私は同じことを考えていましたが、なぜプロセスが終了するのですか？頂点を削除すると、その隣接点が面を形成しない可能性があるため、新しいエッジを追加する必要があり、実際には頂点の次数を増やす必要があることに注意してください。

— domotorp

誰かがまだ質問に興味を持っている場合、ドブキン・キルパトリックの説明のスナッグは、凸多面体間の交差のバルバとランガーマンの最適な検出でも指摘されています。

彼らはオルークのこと（SODA 2015バージョン、arXivのない）紙に守っCで計算幾何学、CHAP 7は、すでに（基本的にサリエルの答えである）の回避策について詳しく説明します。SODAペーパーでは、代替ソリューションも紹介しています。各頂点が次数を制限するDK階層のバリアントを定義します。

— ジョセフ・スタック
ソース