L1へのL2の等尺性埋め込み

与えられたことが知られている$n$の-pointサブセット$\ell_2^d$（与えられる$n$の点${\mathbb R}^d$ユークリッド距離）が内等角それらを埋め込むことが可能である。$\ell^{n\choose 2}_1$

アイソメは（おそらく、ランダム化された）多項式時間で計算可能ですか？

有限精度の問題があるため、正確な質問は

{\ mathbb R} ^ dおよび\ epsilon> 0のn点のセットが与えられると、マッピングf：X \ to {\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}が計算可能（おそらくランダム性を使用）時間多項式におけるN対数で1 / \イプシロン毎にこのようなことは、X、XでY \我々は$X$$n$${\mathbb R}^d$$\epsilon >0$$f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$$n$$1/\epsilon$$x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

（注：O（\ epsilon ^ {-2} \ cdot \ log nに射影することにより、nおよび1 / \ epsilonの時間多項式で歪み（1+ \ epsilon）のマッピングが$(1+\epsilon)$高い確率で見つかることがわかっています。 ）ランダムな線ですが、1 / \ epsilonがnよりもはるかに大きい場合、次元数をn \ choose 2またはO（n ^ 2）に建設的に減らすことができるかどうかはわかりません。は、1 / \ epsilonがnで指数関数である場合を処理する多項式時間法です。$n$$1/\epsilon$$O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$$n\choose 2$$O(n^2)$$1/\epsilon$$n$$1/\epsilon$$n$

Sureshは、上記のコメントを回答にまとめるように頼みました。しかし、入力ユークリッド空間の次元が一定でないときに多項式時間にする方法が明らかではないため、元の質問に対する答えであるかどうかは確かではありません。少なくとも近似を含まず、定数多項式に見えるため、元の質問が尋ねるような大きな問題を回避するという利点があります。$1/\epsilon$$d$

とにかく、積分幾何学から、ユークリッド合同の下で不変である次元ユークリッド空間の超平面のセットに標準的な尺度があります。これは、任意の有界長の長さが曲線という特性を有している交差する超平面の尺度に比例する多重度は（超平面が交差する場合、その意味二回、それが交差超平面の全尺度を二回寄与する）。あれば特に線分、次いで多重合併症が発生しないと、我々は交差する超平面上の測定値を正規化することができる、正確に長さに$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$。（を含む超平面の尺度は0なので、無限の多重度を心配する必要はありません。）$C$

ここで、d次元空間のn個のポイントのセットを指定して、ポイントの各パーティションの座標を、どのポイントも通過しない超平面によって誘導される2つのサブセットにします。パーティション座標値の片側のポイントをゼロにし、パーティション座標値の反対側のポイントを、そのパーティションを誘導する超平面のセットの測定値に等しくします。$\ell_1$

場合と任意の2つである点を、聞かせて線分交差する超平面の集合である、およびletサブセットである有するそれぞれの可能な超平面隔壁によって形成され片側上他に。次いで、の互いに素な和集合である、との間の座標差とサブセットだけ尺度である。したがって、のcoordinatizations間の距離と$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$（の測定値の合計）はの測定値であり、これはと間の元の距離です。$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

計算幾何学では、同じ構造の別の説明が役立つ場合があります。射影双対を使用して、入力ポイントを超平面に変換し、超平面をポイントに分離します。次に、超平面のセットの積分幾何測度は点のセットのより標準的な測度に変換され、と間の距離は2つの超平面間の二重くさびの測定に二重化され、超平面配置はこの二重くさびをより小さなセルに分割します。ポイントの座標値は、配置内のセルの1つの測定値（デュアルハイパープレーンがその座標のセルの下にある場合）またはゼロ（デュアルハイパープレーンがセルの上にある場合）のいずれかです。したがって、$n$$n$$p$$q$$\ell_1$と間の距離は、ダブルウェッジ内のセルのメジャーの合計であり、ダブルウェッジ全体のメジャーと同じです。この二重の観点により、この方法で見つかった埋め込みの次元を簡単に計算できます。これは、超平面配置内のセルの数、つまり、またはより正確に最大。$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

これまでのところ、これは完全に決定的で正確な埋め込みを提供します。しかし、より小さな次元でした。カラテオドリの定理に関するルカのコメントがここにあります。メトリックのセットは、次元空間で多面体の円錐を形成します。ユークリッドメトリックはこの円錐に属します。円錐の極端な光線上の点は1次元の$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$擬似計量（ポイントが2つのセットに分割され、1つのセット内のすべての距離がゼロで、分割全体のすべての距離が等しい）、カラテオドリは、コーン内の任意のポイント（気になるポイントを含む）最大数が周囲空間の次元である極端な光線上の点の凸の組み合わせとして表され。ただし、最大で個の1次元メトリックの凸の組み合わせは、メトリックです。$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

最後に、実際に次元埋め込みを計算するにはどうすればよいですか？この時点で、メトリックの次元凸コーン（開始した距離メトリックポイントだけでなく、コーンの極点のセットもあります。（入力を超平面によって誘導される2つのサブセットに分割することに対応）メトリックがこれらの極値の凸の組み合わせになるように—小さな場合、これはコーンが持つ極値の光線に対する大きな改善です全体。ここで必要なのは、まで、セットから極端なポイントを1つずつ取り除く欲張りアルゴリズムを適用することです$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$それらの残りが残っています。各ステップで、メトリックが残りの極値の凸包の内側にあることを不変式として維持する必要があります。これは単なる線形プログラミングの実行可能性の問題です。これを行うと、Carathéodoryは常に凸包に入力メトリックが含まれる極点を。$n\choose 2$