完全に非幾何学的な何かを解決するために、幾何学からの洞察が有用だった例

3つの空間次元を持つ宇宙で進化したことの良い点の1つは、空間内のオブジェクトに関する問題解決スキルを開発したことです。したがって、たとえば、3次元の数字は3次元の点と考えることができ、したがって3次元の数字についての計算は3次元の点についての計算と考えることができます。これは、幾何学の手法を使用して、完全に非幾何学的な問題を解決できる場合があることを示唆しているようです。誰もそのような例を知っていますか？

もちろん、「幾何学的」および「非幾何学的」という用語はここではわずかにあいまいです。すべてのポイントを座標で置き換える場合、幾何学的問題は実際には非幾何学的であると主張できます。しかし、直感的には、定義は明確です。SoCGに論文を送ることを検討する場合、幾何学的なものと呼ぶことにしましょう。

さらにいくつかの例：

Sleator、Thurston、Tarjan は、二分木回転の下限を証明するために、ポリゴンのパーティションとしての幾何学的表現と双曲線幾何を使用しました。（また、動的な二分探索木の歴史は四面体化として表現できると信じています。）

BerkmanとVishkinによる最小共通祖先の範囲最小クエリへの削減は、ツリー上のデータ構造の問題をほぼ幾何学的な問題に関連付けています。（およびDavidの記事に感謝）

軸に平行な長方形の最大重量独立セット[1]へのスケジューリング問題の削減、または幾何学的セットカバー[2]への異なるスケジューリング問題の削減が適格である可能性があります。

最大の共通部分列問題を最大の層を見つけることへと縮小することはよく知られています（つまり、私は実際にそれを考えた人を調べるのが面倒です）。

[1]（Liane Lewin-Ey​​tan、Joseph Seffi Naor、Ariel Orda）

[2] Nikhil Bansal、Kirk Pruhs。スケジューリングの幾何学、FOCS 2010。

[後の編集]「幾何学」ビューが意外に思えたさらに2、3のケース（「SoCGへの提出」または「視覚化する何かを作成する」基準はおそらく満たされない）：

分散コンピューティングの下限に適用される代数トポロジー

Hausdorff次元に計算可能性を組み込む

グループの距離の概念を定義し、次にボリューム、次に距離の関数としてのボリュームの成長を定義し、「多項式成長」を使用します

もちろん、以前の回答よりもはるかに優れた答えは、スパースカットを解決するためのメトリック埋め込み理論の使用です。疎カット問題に対する解決策の重要なステップであったそれは一般に、メトリックの良好な埋め込みを見つけることによって近似することができることを実現 -normed空間$\ell_1$。

それらは他のどこかでも言及されましたが、私が好きな例はこれです：部分情報でソートすることは、ポゼットが与えられ、情報理論にできるだけ近い数の比較クエリを使用して、ポゼットの固定された未知の線形拡張を見つける問題です下限（これは、比較の回数が重要な複雑さの尺度であり、一部の比較が無料で提供される場合の並べ替えです）。SaksとKahnは、最適な（一定の）比較戦略の存在を、ポセットに関連付けられた特別なポリトープである順序ポリトープの特性を使用して証明しました（Matousek's Lectures on Discrete Geometry bookで素晴らしい説明を見つけることができます）。第1の多項式時間アルゴリズム （KahnとKimによる）最適（一定まで）の比較戦略を計算する場合も、入力ポゼットの比較不能グラフの安定なポリトープと次数ポリトープのプロパティを使用しました。

バイナリ検索ツリーの幾何学的表現を使用して動的最適性に関する最新技術を進歩させる、Demaine等による比較的最近の論文があります。DOの推測を解決しないため、私はここで少しあいまいになっています。

そのようなことの例はないと思います。線形計画法、半正定値計画法、複素数、機械学習の大部分などを除きます。本当の質問はhttp://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGysoです。

昨年のPOPLには、EigenCFA： GPUを使用したフロー分析の高速化という素晴らしい論文がありました。

この論文はこれを明確に指摘していませんでしたが、彼らが基本的にしていたことは、ベクトル空間のカテゴリ構造を利用して木を表現することでした。つまり、通常の集合理論では、（一定の高さの）ツリーは、デカルト積のネストされた互いに素な結合です。

ただし、ベクトル空間には直接の積と合計もあるため、適切なベクトル空間の要素としてツリーを表すこともできます。さらに、直接積と直接和はベクトル空間で一致します。つまり、それらは同じ表現を持ちます。これにより、並列実装への扉が開かれます。物理的な表現は同じであるため、多くの分岐とポインター追跡を排除できます。

また、データフロー分析が3次時間である理由も説明します。これは、固有ベクトルの計算です！

ネットワーキングでは、ルーターはTCAM（3連想メモリ-言い換えれば、ドントケアビット付き連想メモリ）を使用してトラフィックを分類します。TCAMのエントリは、多くの場合、多次元のプレフィックス一致ルールです。たとえば、（101 *、11 *、0 *）は、最初のヘッダーフィールドが101で始まり、2番目のヘッダーフィールドが11で始まるすべてのパケットと一致します。パケットは最初のルールに一致せず、2番目に進み、一致するルールが見つかるまで続きます。

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

ネットワーキングの人々にとって、この解釈は特定のルールセットが何をするかを理解するのに役立ちます。理論家にとって、他の興味深い用途があります。GuptaとMcKeownによるパケット分類のアルゴリズムによれば、幾何学的解釈により、パケット分類の問題の下限と上限をすばやく設定できました。TCAMルールの最小化（セマンティクスを保持するルールの最小数を見つける）の作業も、幾何学的アプローチの恩恵を受けたことを知っています。これについては多くの参考文献がありますが、最も役立つのはApplegateなどのSODA 2007論文です。直線的な写真の圧縮とアクセス制御リストの最小化。上記のプレフィックス一致ルールのより一般的なバリアントを最小化することはNP困難であることを証明し、問題を解決するために四角形のきれいな画像に（再び）接続します！

2つの数値間の最大の共通因子を見つけるユークリッドアルゴリズムを誰も言っていないことに驚いています。この問題に対処するには、axb長方形を描画し、長方形を最小辺で作成された正方形でさらに分割し、残りの長方形を繰り返し、残りの長方形を均等に分割できる正方形が見つかるまで残りの長方形を繰り返します（参照ユークリッドアルゴリズムページのアニメーションgif）。

物事の仕組みを理解しようとするかなりエレガントな方法、IMO。

おそらくあまりにも多くの例がありますが、古典的な例（AignerとZieglerによって「本からの証明」として強調されています）は、Lovászによるシャノン容量の問題を解決するための幾何学的表現の使用です。この証明は1979年に公開され、1956年から未解決の問題を解決しましたが、これは依然として最新技術です。

エラー修正コードとラティス、スフィアパッキングなどとの関係（ConwayやSloaneの本など）。それでも、その関係は非常に強力であるため、その後エラー訂正コードを「完全に幾何学的ではない」と呼ぶべきかどうかは明確ではありません...

LLLやPSLQなどの格子整理手法は非常に幾何学的であり、線形ディオファントイン近似や整数関係検出などの純数論の問題を解決します。

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Gerard Saltonは、情報検索システムにベクトル間の角度のコサイン（コサイン類似度）を使用するというアイデアを思いつきました。これは、用語頻度の逆ドキュメント頻度の計算に使用されました。 これは現代の検索エンジンの前身だと思います。ベクトル空間モデルも参照してください。

$k$$k$

もちろん、証明は幾何学的よりもトポロジー的ですが、低次元では明確な幾何学的画像を持ちます。私の知る限り、純粋な組み合わせの証明（つまり、トポロジについて何も聞かない人に説明できる証明）は存在しません。

データベースおよび最適化における空間充填曲線の役割：http : //people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

機械学習におけるサポートベクターマシンはおそらく資格があります。

線形計画法を解くための計算幾何学的手法が存在します。 計算幾何学：アルゴリズムとアプリケーションには、それについてのわかりやすく簡単な章があります。

定積分関数の、そのグラフで囲まれた領域の符号付き面積として表すことができます。