有限VC次元でのヒッティングセットのパラメーター化された複雑さ

私は、d次元のヒッティングセット問題と呼ばれるもののパラメーター化された複雑さに興味があります。正の整数k、XにはRのすべての範囲にヒットするサイズkのサブセットが含まれていますか？問題のパラメーター化されたバージョンは、kによってパラメーター化されます。

dのどの値に対してd次元ヒッティングセット問題

• FPTで？
• W [1]で？
• W [1] -hard？
• W [2] -hard？

私が知っていることは、次のように要約することができます：

• 1次元ヒッティングセットはPにあり、したがってFPTにあります。Sの次元が1である場合、サイズ2のヒットセットがあるか、Sの入射行列が完全に均衡していることを示すことは難しくありません。どちらの場合でも、多項式時間で最小ヒットセットを見つけることができます。

• 4次元ヒッティングセットはW [1] -hardです。Dom、Fellows、およびRosamond [PDF]は、軸平行線でR ^ 2の軸平行長方形を突き刺す問題のW [1]硬度を証明しました。これは、VC次元4の範囲空間でヒッティングセットとして定式化できます。

• dに制限がない場合、W [2] -completeおよびNP-completeである標準的なHitting Set問題があります。

• LangermanとMorin [citeseer link]は、制限された次元のSet CoverにFPTアルゴリズムを提供しますが、それらの有界次元モデルは有界VC次元で定義されたモデルと同じではありません。彼らのモデルには、例えば、ポイントで半空間をヒットする問題は含まれていないようですが、モデルのプロトタイプ問題は、超平面をポイントでヒットすることと同等です。

この問題は難しすぎると思います。この家族のはるかに簡単な問題に対する答えはわかりません。たとえば、平面内のn個のポイントのセットと（たとえばn個の）単位ディスクのセットが与えられた場合、k個の単位ディスクでポイントをカバーするかどうかを決定します。これには簡単なn ^ O（k）時間アルゴリズムがあり、既知の洞察を使用してn ^ O（sqrt {k}）を実行できても驚くことはありません（しかし、それは明らかではありません）が、f（ k）* n ^ {O（1）}は開いており、実際には非常に興味深いものです。（1 + eps）近似は、MustafaとRay http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367の研究によるものです。

ところで、任意の単位ディスクが許可されている連続バージョンでは、n ^ {O（k）}時間で問題を解決できます。この場合のPTASは、シフトグリッドを使用しても非常に簡単です。

この質問は、新しいプレプリントで対処します：http : //arxiv.org/abs/1512.00481

低VC次元のハイパーグラフのセットを打つ（Karl Bringmann、LászlóKozma、Shay Moran、NS Narayanaswamy）。

VC次元が2に等しい場合、ヒットセットは既にW [1] -hardであることがわかります。

論文DánielMarx：幾何学的問題の効率的な近似スキーム？。ESA 2005：448-459は非常に重要です。