長方形を凸ポリゴンにパックするが回転はしない

（2次元）長方形の同一のコピーを重複することなく凸（2次元）多角形に詰める問題に興味があります。私の問題では、長方形を回転させることはできず、長方形は軸と平行になっていると仮定できます。長方形のサイズとポリゴンの頂点が与えられ、長方形の同一コピーをいくつポリゴンに詰め込めるかを尋ねられます。長方形の回転を許可されている場合、この問題はNP困難であると考えられます。ただし、できない場合は何がわかりますか？凸多角形が単なる三角形の場合はどうですか？問題が実際にNP困難である場合、既知の近似アルゴリズムはありますか？

これまでの要約（11年3月21日）。Peter Shorは、この問題を凸多角形のパッキング単位正方形の1つと見なすことができ、パッキングする正方形/長方形の数に多項式の境界を課す場合、NPに問題があることを観察します。Sariel Har-Peledは、同じ多項式で区切られた場合のPTASがあることを指摘しています。ただし、一般に、パックされた正方形の数は、整数のペアの短いリストのみで構成される入力のサイズで指数関数的になります。次の質問は未解決のようです。

NPには完全な無制限バージョンがありますか？無制限バージョン用のPTASはありますか？PまたはNPCの多項式境界の場合ですか？そして、私の個人的なお気に入りは、ユニットの正方形を三角形に詰めることに自分を制限する場合、問題は簡単になりますか？

問題は、それらのすべての対が（下の距離にあるように、凸多角形内部の点の最大数を選ぶように再定式化することができる少なくともメトリック）1（ちょうど正方形の中心を考える）互いから。これは、通常のユークリッド距離を使用する同じ問題に関連しています。これは、メッシュを適切に動作する領域に分割することに関心があるメッシュに関連しています（つまり、中心のボロノイ図を取得します[重心ボロノイテセレーションを参照]）。$L_\infty$$1$

とにかく、-近似は非常に簡単です。あなたはランダムにサイドレングスO （1 / ϵ ）のグリッドをスライドさせます。ポリゴンをグリッドにクリップし、ブルートフォースを使用して、ポリゴンとグリッドの各交差部分内の問題を解決します。実行時間O （M ∗ n o i s e （ϵ ））のアルゴリズムは簡単に続くはずです。ここで、Mは点（つまり、長方形）の数であり、n o i s e （ϵ $(1-\epsilon)$$O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$のみに依存し、いくつかの恐ろしい機能である。$\epsilon$

これらの2つのペーパーはあなたの問題に対処します：

EG BirginおよびRD Lobato、「等方性凸領域内の同一長方形の直交パッキング」、Computers＆Industrial Engineering 59、pp。595-602、2010。 

EG Birgin、JMMartínez、FH Nishihara、DP Ronconi、「非線形最適化による任意の凸領域内の長方形アイテムの直交パッキング」、Computers＆Operations Research 33、pp。3535-3548、2006。

Peter Shorは、再スケーリングによって、この問題が単位正方形を凸多角形にパックすることになることを観察しました。

編集：この回答の残りの部分は適用されません。これは、パックされる形状がすべて同じサイズであるという明示的な要件がなくなるためです。

直交パッキング問題の特殊なケースの関連する質問NP-Hardnessは、最初の質問に必要な結果を含む論文に言及しています。

• 正方形を正方形に詰める、 Joseph YT。Leung、Tommy W. Tam、CS Wong、Gilbert H. Young、およびFrancis YL Chin、Journal of Parallel and Distributed Computing 10 271–275。（リンク）

論文から：

3分割問題を削減することにより、正方形パッキング問題が強くNP完全であることを示します。

したがって、パックされる長方形がコンテナに似ている特別な場合でも、問題はNP困難です。（この論文の著者とは異なり、問題はNPにあると完全に確信しているわけではありません。 ）

この論文はあなたの興味を引くかもしれません：

FOCS 92のKenyonとKenyonによる長方形のポリゴンのタイル張り。

パックするポリゴンが必ずしも凸面ではない場合、問題はNP困難になると思います。これは非常に大ざっぱな証拠です。これは、Planar-3-SATタイプの問題によるものです。各変数には1.1 x 1の場所を設定できます。この領域のどこに1つの正方形を配置するかによって、変数がtrueであるかfalseであるかが決まります。また、.1領域を左/右に移動すると、他の2つの正方形とその背後の正方形をもう少し移動でき、最終的には4つの正方形に影響を与える別の場所に.1の空きスペースを追加できます。それぞれのリテラルのオカレンスと同じ数のコピーを作成したら、これらのチューブをそれぞれの節コンポーネントに接続し、同様のガジェットを使用して、3つの受信チューブから少なくとも1つに.1の追加スペースを確保する必要があります。