最大ばらばらのセット：欲張りアルゴリズムの実際の近似係数は何ですか？

候補の特定のコレクションから、最大の素集合 -重なり合わない幾何学的形状の最大セットを見つける問題を考えます。これはNP完全問題ですが、多くの場合、次の貪欲なアルゴリズムは定数係数近似を生成します。

• すべての候補形状xについて、その交差しない交差数 = xと交差する交差しない形状の最大数を計算します。$DIN(x)$
• 最小のDIN（）を持つ候補形状を選択します。それと交差するすべての形状を削除します。$\arg \min_{x} DIN(x)$
• 候補がなくなるまで続けます。

たとえば、Wikipediaページの次の図を考えてください。

緑色のディスクは他の5つのディスクと交差していますが、DINは3です（3つの赤色のディスクは分離しています）。最上部と最下部の赤いディスクは他の2つのディスクと交差しますが、それら自体が交差するため、DINは1です。黄色のディスクのDINは2です。したがって、欲張りアルゴリズムは最上部または最下部の赤いディスクを選択します。

最小DINを定数で区切ることができる場合、欲張りアルゴリズムは多項式定数因子近似です。

例えば、すべての候補形状が単位円板である場合、Maratheら（1995） ：最大で3のDINとディスクが常に存在することを示し、左端のディスク（X座標が最小とディスク）最大3他の互いに素なディスクで交差します。したがって、貪欲アルゴリズムは、最適なソリューションで（最大）3つのディスクごとに1つのディスクを取得するため、3つの近似値を生成します。

同様に、すべての候補形状が任意のサイズのディスクである場合、最小のディスクは最大5つの他の素のディスクと交差するため、貪欲アルゴリズムは5近似を生成します。つまり、最小DINは最大5です。

これまでのところは良いですが、これらの3と5の要因はきついですか？私はわかりません。

上の図を検討してください。一番左のディスク（緑）を選択すると、サイズ1の素なセットが見つかります。これは、サイズ3（赤）の最大の素なセットの実際の3近似ですが、貪欲なアルゴリズムは緑のディスクを選択しません。 DINが1である上部/下部の赤いディスク。この場合、欲張りアルゴリズムが最適なソリューションを見つけます。

一般的な反例を見つけることができませんでした。この例では、貪欲なアルゴリズムはユニットディスクを持つ素集合を見つけますが、最大の素集合にはます。実際、最小のDINが実際に3である一般的な反例を作成することさえできませんでした。私が思いつくのは、次の方法です。 2）です。しかし、ここでも、欲張りアルゴリズムは2近似ではなく最適な解を見つけます。n 3 $n$$n$$3n$

私の質問は：

• ユニットディスクのコレクションの実際の最大最小DIN は何ですか？任意のサイズのディスク？
• ユニットディスクのコレクションの欲張りアルゴリズムの実際の近似因子は何ですか？任意のサイズのディスクの場合？（この係数は最大でも最大の最小DINと同じ大きさですが、小さい場合もあります）。

更新：形状のkタプルごとに、 =和集合交差する素な形状の最大数を定義し。を、互いに素な形状のすべてのkタプルの最小DINとして定義します。 D I N （X 1、。。。、X K）X 1 ∪ 。。。∪ X $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

たとえば、以下のYuryの回答では、すべての円が他の3つの円と交差するため、です。これは、外側の円から1つと内側の円から1つの2つの互いに素な円を選択することが可能であるため、は一緒に他の4つの円のみと交差します。ごとに、。$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

欲張りアルゴリズムの近似比はで制限できると考えます。なぜなら、最適な解の形状ごとに、アルゴリズム出力に少なくとも形状があるからです。これは正しいです？$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

編集：私は今、離散幾何学の優れた本の研究問題を読んでいます。この正確な問題は見つかりませんでしたが、関連するように見える問題が見つかりました。「2.5隣人が多い薄いパッキング」セクションには、各サークルが他の5つのサークルに接するサークルパッキングの例があります。このようなパッキングは、DIN = 5の円の構成を生成できるのだろうかと思います。

ユニットディスクのコレクションの実際の最大最小DINは？

3です。