予想される最小L2ノルムの凸体

凸状体検討 $K$ 原点を中心と対称（すなわち、もし $x\in K$ 次いで $-x\in K$ ）。私は別の凸状体を見つけることを望む $L$ ように、 $K\subseteq L$ 及び以下の尺度が最小化されます。

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ 、ここで、 $x$ 、Lからランダムに一様に選択された点です

メジャーの定数因子近似で問題ありません。

いくつかの注意事項 $K$ 自体が答えであるという最初の直感的な推測は間違っています。たとえば、 $K$ が非常に高次元の細い円柱であると考えてください。次に、に原点に近いボリュームを持たせることで、なるようにを取得できます。 $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— アシュウィンクマールBV
ソース

何の価値もないため、問題は困難に見えます。3Dでも、それを解決する方法は明らかではありません。

— サリエルハー

2Dで最適に行う方法は明らかですか？もちろん2次元では、定数因子の近似はおもしろくありません。

— アシュウィンクマールBV

私には明らかではありません。定数因子近似は、形状を楕円体www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdfで近似することにより、どの次元でも明らかです。定数は次元に依存します。

— サリエルハーペレド

私は、定数が次元に依存しない定数因子近似にもっと興味があります。

— アシュウィンクマールBV

当然。しかし、私はそれを取り戻しましょう-楕円体の場合でさえ明らかではありません。この問題を攻撃したい場合、それが調査する最初のバージョンになります。直感的には、無視するディメンションと展開するディメンションを決定する必要があります。自然な解決策は、楕円体と別の楕円体の結合の凸包であり、新しい楕円体の軸はいくつかのパラメータrに等しいか、他の楕円体に等しいようです。

— サリエルハーペレ

回答:

と両方を楕円体に制限すると、SDPを使用して問題を任意の精度で解決できます。これはあなたが最初に尋ねたものではないことは知っていますが、この制限された場合でも解決策はないようで、一般的には役立つかもしれません。 $K$ $L$

$E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ と。が正の半正定行列である場合にのみ、（したがって）になります。 $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

したがって、SDPは次のように定義されます。対称PSD行列与えられると、対称PSD行列 st見つけますはPSDで、は最小化されます。はSDPを解くことで見つけることができ、その後SVDは軸と軸の長さを与えます。 $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— サショ・ニコロフ
ソース

（コメントで述べたように、次のアプローチは機能しません。得られたオブジェクトは凸型ではありません。ただし、予想される最小距離で「星型」オブジェクトを特徴付けます。）

最適なオブジェクトは、結合と原点を中心としたボールになると思います。ここに私の考えがあります。定義により、ここでは特定の方向に沿った原点から表面までの距離です。定数を削除したため、=の代わりにを使用しました。次の制約の下でを最小化します。 $K$ $f(L)$

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$ 任意の方向に沿った。場合ことに注意してくださいいくつかの方向に沿ったよりも小さい、我々はそれがわずかに大きくすることができ、その後、言うことによってそれを上げるにするために、より小さいを。これは、増やし、分母の増加の係数より小さいためです。したがって、を徐々に「変形」させて（オブジェクトを少しずつ成長させ、を更新して）値を小さくすることを考えることができます。してみましょう最終的に凸状のオブジェクトです。次に、上の任意のポイント

r_{K}

$r_K$

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$ は、原点から距離にあります。つまり、はと半径ボールの結合です。

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

実際、ような別の凸オブジェクト考えます。それから、そうでなければ内部での部分を大きくして小さくできるからです。一方、そうでない場合は、同じ考え方で、私たちはの一部縮小することができますので、外作るために小さく。したがって、独自の最適なソリューションがあります。 $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ $g(K')$

— user7852
ソース

何かが足りないのかもしれませんが、なぜこのように生成されたオブジェクトは凸状ですか？

— mjqxxxx

@mjqxxxxそのとおりです。どのように私はそれを見逃した...

— user7852

次のアイデアについてはどうでしょうか。凸オブジェクトをある楕円体で近似できることはよく知られています。つまり、ような楕円体があります。次に、を近似比で近似します。を含む場合、。したがって、を含む最適な楕円を見つけることができる場合、ます。計算方法がわかりません。しかし、その軸は軸と一致し、すべての固有値は

E_{K}

$E_K$

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$ あるしきい値を下回るは、そのしきい値に引き上げられます。

— user7852

Lが凸体に限定されない場合、それはKとボールの結合であることに同意します。

— アシュウィンクマールBV

楕円体を使用するという考え方は、一定の要因を与えるものではありません。せいぜい近似を与えることができます。私の推測では、適切な半径のボールを持つ凸包は定数因子近似です。推測を証明または反証する方法がわかりません。

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— アシュウィンクマールBV

次の解決策は、この仮定/推測に基づいています[証明される]：

推測：凸関数の期待値は、の期待値と期待値の間の大きい方よりも小さい。 $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[凸に対してのみ上記が必要になりますが、これは一般的に真実かもしれません] $K,K'$

ここで任意のセットを取得し、原点を中心に回転を適用して取得します。あなたが持ってしようとしている、回転葉ための要素の長さ不変。推測について正しい場合、。任意の最適のためので、、あなたは考えることができ、、すべての回転を超える組合を示し、持っている、を含む最小の球体になるように最適なを選択できるようです $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$ 。

— マルコ
ソース

凸関数の期待に対してであることを証明するだけで十分でしょう。それ簡単なようです。

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$

— マルコ

私はあなたの答えを得るかどうか完全にはわかりません。しかし、LがKを含む最小の球になるように選択できることは間違いです。長さ次元の長い細い円柱を考えてください。この場合、を含む球はです。しかし、あなたが構築場合 Uが球体または略半径であるあなたが得るおおよそ。（は定数）

d

$d$

t

$t$

S

$S$

K

$K$

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$

c_{1} t / d

$c_1 t/d$

f (L)

$f(L)$

c_{2} t / d

$c_2 t/d$

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$

— アシュウィンクマールBV