量子コンピューターによる凸多面体からの近似サンプリング

量子コンピューターは、従来のコンピューターを使用してサンプリングする方法がわからない分布のサンプリングに非常に適しています。たとえば、fが多項式時間で計算できるブール関数（から）である場合、量子コンピューターを使用すると、 fのフーリエ展開 （従来のコンピューターでそれを行う方法はわかりません。）- 1 、$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

量子コンピューターを使用して、d変数のn個の不等式のシステムによって記述された多面体のランダムポイントをサンプリングまたは近似サンプリングできますか？

不等式からポイントに移動することは、「変換」に似ているように見えます。さらに、分布を変更しても、たとえば多面体の超平面または他の何かによって記述されたガウス分布の積を考慮しても、量子アルゴリズムを見ることができればうれしいです。

いくつかのコメント：Dyer、Frieze、およびKannanは、多面体の体積をほぼサンプリングしてほぼ計算する有名な古典的な多項式時間アルゴリズムを発見しました。このアルゴリズムは、ランダムウォークと高速ミキシングに基づいています。それで、同じ目的のために異なる量子アルゴリズムを見つけたいです。（OK、私たちは量子アルゴリズムがこの文脈で古典的に行うことを知らないことにもつながることを願うことができます。しかし、始めるために、私たちが望むのは異なるアルゴリズムだけです、これは可能でなければなりません。）

第二に、均一な分布をほぼサンプリングすることさえ主張しません。多面体で大まかにサポートされている他の素敵な分布をおおよそサンプリングします。Santosh Vampala（別のコンテキストでは私も）によるサンプリングから最適化までの議論があります：f（x）サンプルを最適化して、f（x）が典型的なポイントyを見つける場合。制約{f（x）> = f（y）}を追加して繰り返します。

投稿が認めているように、凸多面体の体積を推定するための古典的な多項式時間アルゴリズムの存在は、ゲームチェンジャーです。量子アルゴリズムは、古典的なアルゴリズムと競合しない限り、興味を引く可能性がはるかに低くなります。結局のところ、その基準がなければ、古典的なアルゴリズムは単に量子アルゴリズムと呼ぶことができます。

とはいえ、多項式の高速化の余地はまだあり、このタイプの高速化の主な既知の観点は、特にこの場合の古典的な加速がランダムウォークに基づいていることを考えると、量子ウォークです。（実際、どの量子アルゴリズムも量子ウォークと見なすことができますが、一部のアルゴリズムではこれは必ずしも啓発的ではありません。）QC文献のさまざまな論文は、凸ポリトープの体積を推定するアルゴリズムがランダムウォークを使用することを指摘しています。量子ウォークからの加速がある可能性があること。したがって、研究者はこの提案を知っているように見えますが、この問題に対してどのような多項式加速が得られるのかを誰も解明しようとしませんでした。最高の古典的なアルゴリズムに何らかのネタバレがある場合、何も得られないかもしれませんが、

ここに、すべてが通過する際の基本的な考え方に言及している論文のコレクションがあります。繰り返しになりますが、Google Scholarは誰もそれ以上進んでいないことを示唆しているようです。

1. arXiv：quant-ph / 0104137-ハイパーキューブ上の量子ウォーク
2. arXiv：quant-ph / 0205083-量子ランダムウォークのヒットが指数関数的に高速化
3. arXiv：quant-ph / 0301182-離散量子ウォークのデコヒーレンス
4. arXiv：quant-ph / 0304204-離散量子ウォークの制御：コインと初期状態
5. arXiv：quant-ph / 0411065-2つの絡み合った粒子のある線上の量子ウォーク
6. arXiv：quant-ph / 0504042-正規グラフ上の造語量子ウォークのエンタングルメント
7. arXiv：quant-ph / 0609204-従来のミキシングプロセスの量子高速化
8. arXiv：0804.4259-量子サンプリングによる高速化
9. 量子アルゴリズムへのランダムウォークアプローチ
10. 有限体上の非線形方程式を解くための離散量子ウォーク

凸ポリトープの体積を推定する古典的なアルゴリズムのもう一方は、線形計画法です。そのための量子加速の発見に進展があったかどうかはわかりません。凸ポリトープをサンプリングに適した位置に配置するために、線形プログラミングの段階を回避することは難しいようです。