ではNP完全であるが、では扱いやすい幾何学的問題？

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で考えるといくつかの幾何学的問題は簡単ですが、ではNP完全（私のお気に入りの問題の1つであるユニットディスクカバーを含む）。 $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

誰もがとについてはポリタイムで解けるが、についてはNP完全な問題を知っていますか？ $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

より一般的には、についてはNP完全であるが、についてはポリタイムで解ける問題が存在します。ここで？ $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

cc.complexity-theory reference-request cg.comp-geom

— ボブ・フレイザー
ソース

ある3次元マッチングは幾何学的な？

— ユッカスオメラ

1

あんまり。「3次元」はデカルトであり、ユークリッドの意味ではありません。

— スレシュヴェンカト

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半角スペースでカバーを設定します。

平面内のポイントのセット、およびポイントセットをカバーするハーフプレーンの最小数を計算するハーフプレーンのセットが与えられると、プレーン内の多項式時間で解くことができます。ただし、問題は3dでNPが困難です（2dの点のディスクのサブセットで最小カバーを見つけるよりも困難です）。3Dでは、ハーフスペースとポイントのサブセットが与えられ、ポイントをカバーするハーフスペースの最小数を探しています。

2dのポリタイムアルゴリズムについては、http：//valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/で説明しています。

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

私が取り組んでいる問題にどれほど近いかを考えると、私はこの結果を知らなかったことに少し恥ずかしいです:-)これはまさに私が望んでいた種類の答えでもあります。2Dのディスクカバーよりも難しいと言うとき、それはAPXのハードであることを意味すると思いますか？

— ボブフレイザー

1

2次元問題は多項式です。もう1つはNPハードです。しかし、3Dの問題はAPXハードだとは思いません。ローカル検索経由PTASが可能かもしれないと信じる十分な理由があります...

— サリエルのHar-Peled

...さらに難しいことは、ディスクの問題を3Dの半空間の問題に持ち上げる（つまり減らす）ことを意味しました。

— サリエルハーペレ

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3dバージョンはNP完全よりも難しいため、あなたが求めるものではありませんが、平面内の多角形の障害物間の2点間の最短経路を見つけるのは多項式時間です（最も簡単には、2つの端末の可視性グラフを作成しますポリゴンの頂点とダイクストラの適用; Hershberger and Suri、SIAM J. Comput。1999によるより複雑なO（n log n）アルゴリズムもありますが、3Dで多面体障害物間の最短経路を見つけることはPSPACE完全です（CannyおよびReif、FOCS 1987）。

— デビッド・エップスタイン
ソース

10

平面ケースについて確かですか？あなたが引用するアルゴリズムは、基本的に正確な実算を必要とします！ cstheory.stackexchange.com/questions/4034/...

— Jeffε

えーいい視点ね。そして、3D問題はうまく近似できるので、浮動小数点と近似を使用することでそれから抜け出すことはできません。おっとっと。1つは多項式で、もう1つは難しいという「正確な実算」の意味があると思いますが、それでもあなたは正しい、それは質問に答えない別の方法です。

— デビッドエップシュタイン

6

これは本当に面白いです。平方根の問題の合計は、この詳細を除いて問題が簡単になるcgの多くの問題に忍び込みます。それは、ある意味では素晴らしいことです。なぜなら、それがこれらの問題の1つであり、それが困難であることを人々に確信させる必要があるからです。ポインタをありがとう。

— ボブフレーザー

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平面内の非凸ポリゴンは、スタイナーポイントなしでO（n）時間で三角測量できます。つまり、三角形分割のすべての頂点はポリゴンの頂点です。さらに、すべての三角形分割には正確にn-2個の三角形があります。

ただし、R ^ 3の非凸多面体をシュタイナーポイントなしで三角形分割できるかどうかを判断することはNP完全です。NP硬さの結果は、1つのシュタイナー点を含む三角形分割を与えられた場合でも保持されるため、必要なシュタイナー点の最小数を概算することもNP硬さです。[ジム・ルパートとライムント・ザイデル。三次元非凸多面体の三角形化の難しさについて 離散計算。Geom。1992.]

与えられた多面体が凸である場合、三角形分割を見つけることは簡単ですが、最小数の四面体で三角形分割を見つけることはNP困難です。[Alexander Below、Jesúsde Loera、JürgenRichter-Gebert。凸3ポリトープの小さな三角形分割を見つけることの複雑さ。 J.アルゴリズム 2004。]

— ジェフス
ソース

2

ポインタをありがとう、ジェフ。特に、あなたが言及した最後の結果は興味深いと思います。平面にいる間、ポリゴンを構成するシンプレックスの数が一定であることは少し驚くべきことですが、これはもはや高次元では成り立たず、実際には最適化が困難です。これはまさに私が望んでいた種類の答えです。

— ボブフレイザー

16

次元ポリトープの実現可能性の問題は候補です。とき、それは（による多項式時間可解だSteinitzの定理）が、とき、これはNP困難です。詳細については、Richter-GebertとZieglerの「4-polytopesの実現空間は普遍的」（arxivバージョンもあります）、およびZieglerの「Lectures on Polytopes」（2nd print）をご覧ください。 $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— 岡本義雄
ソース

2

具体的には、それはNP困難だと言っよりも、それはのための完全なだ

、実数の実存論。

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— デビッドエップシュタイン

私は以前、この問題を見たことがありませんでした、ありがとう。

— ボブフレーザー

繰り返しますが、David Eppsteinの答えのように、NP完全よりも（おそらく）難しいです。

— ピーターショー

11

メトリック空間がR ^ 2に等角的に埋め込み可能かどうかを判断するのは簡単です。ただし、R ^ 3の埋め込み可能性を決定するのはNP困難です。

埋め込むに埋め込み、容易である NP完全です。ジェフ・エドモンズ。SODA 2007 $\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

紙

— ゾウジアス
ソース

それも良い例です。

— スレシュヴェンカト

-2

この答えはあなたの質問に正確に答えているわけではありませんが、いくつかの小さな結びつきがあります。とに答えるのではなく、これがと存在することを示します。 $R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

2-SAT問題（ブール充足可能性）は、多項式時間で解くことができます。それは必ずしも「幾何学的」ではありませんが、マッチングとして知られる対応する問題があります。これはある意味でより幾何学的であり、2-SAT問題に直接マップされます。名前の一致は、k次元の一致のより一般的なバージョンで、です。あなたの質問に答えるために、3-SAT問題はNP完全であり、これも直接NP完全である3次元マッチング問題に直接マップします。したがって、k-SAT問題（およびk次元マッチング）は、扱いやすく、であるでNP完全な別の問題です。 $k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$ 。

— カウシク・シャンカール
ソース

2SATがR ^ 2に「入っている」と言うのはどういう意味ですか？

— スレシュヴェンカト

R^{2}

$R^2$

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-1：R ^ 2で2SATがどのように表示されるかわかりません。2SATがどのように「幾何学的問題」であるかわかりません。

— ロビンコタリ

幾何学的な問題を提示していないことをおizeびしますが、タイトルでは幾何学的な問題について尋ねていますが、コメント内の2つの質問では幾何学的であることを明記していません。さらに、2充足可能性には2次元マッチングとして知られるグラフ表現があります。つまり、Pであり、3充足可能性はNPである3次元マッチングに対応します。

— カウシクシャンカール

@Robin私は先に進み、元のコメントで明確にしました。

— カウシクシャンカール