スーパーマリオギャラクシーの問題

マリオが惑星の表面を歩いているとします。既知の場所から一定の方向に所定の距離を歩き始めた場合、彼がどこで止まるかをどれくらい早く決定できますか？

より正式に、我々は凸多面体を与えられていると仮定 3空間内で、開始点の表面に、方向ベクトル（いくつかの面を含む面内で）、及び距離。マリオのどのファセットが内部で停止するかをどれくらい早く決定できますか？（技術的なポイントとして、マリオが頂点に入るとすぐに爆発すると仮定します;幸いなことに、これはほとんど起こりません。）S P のV Pのℓ P $P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

または、必要に応じて、ポリトープ、ソースポイント、および方向ベクトルが事前に与えられているとします。前処理の後、与えられた距離質問にどれくらい早く答えることができますか？S のV $P$$s$$v$$\ell$

特にに三角形のファセットしかない場合、マリオの足跡を簡単にトレースするのは簡単です。マリオがそのエッジの1つからファセットに入るたびに、時間で他の2つのエッジのどちらから抜けなければならないかを判断できます。このアルゴリズムの実行時間は、エッジ交差の数でのみ線形であるが、それはです無限の距離があるため、入力サイズの関数として直径よりも任意に大きくすることができた。もっと良くできますか？O （1 ）ℓの$P$$O(1)$$\ell$$P$

バインドされたグローバルアッパーは、入力を表現するのに必要なビット数でありしかし、整数入力を主張することは、いくつかのかなり厄介な数値の問題を提起する-どのように計算します。（実際には、パスの長さは、実際には無制限ではありません。正確にどこ停止しますか？—では、実際の入力と正確な実際の演算に固執しましょう。）

この問題の複雑さについて重要なことは何ですか？

更新： julkiewiczのコメントを踏まえると、（ポリトープの複雑さ）の点で純粋に制限された実RAMの実行時間は不可能であることは明らかです。マリオがから始まり方向に歩いている、両面単位正方形の特殊なケースを考えてみましょう。マリオは、整数のパリティに応じて、正方形の前面または背面で停止します。PSPACEとPを一致させない限り、実際のRAMで一定時間内にフロア関数を計算することはできません。しかし、を計算でき[ 0 、1 ] 2（0 、1 / 2 ）（1 、0 ）⌊ ℓ ⌋ ⌊ ℓ ⌋ O （ログℓ ）N ログℓを$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$単純なアルゴリズムに対する指数関数的な改善である指数関数検索による時間。 と時間多項式は常に達成可能ですか？$n$$\log \ell$

この問題は非常に困難です。次のように、簡単にするために単純化できます。

1. ポリトープすべての頂点に関する角度の合計が有理倍数であるという仮定を追加できます。これは、ほとんどの「ポリトープ」を取り除きますが、まだ多くの興味深い可能性があります：例えば、プラトンの固体。$P$$\pi$

2. ポリトープは真の3次元ではなく、ポリゴンの「二重」であると想定できます。これは枕カバーに少し似ています。さらに単純化して、多角形の側面が等しく平行であると仮定します。たとえば、ゲームAstroidsのような正方形。

これら両方の仮定を立てると、大きな理論があります。（正方形のアルゴリズムを見つけることは、マリオのパスの角度の分数展開の継続を伴う難しい練習です。正八角形の同様の結果を達成することは可能ですが困難です。正方形と八角形は、「平行移動面上の測地線のカットシーケンス」を効率的にエンコードする方法を検討します。他のほとんどの有理多角形は、すぐに未解決の問題につながります。正方形のトーラスは、ダイアナ・デイビスによるこれらのスライドです。$O(\log(\ell))$

合理性を仮定せず、多面体が多角形の二重であると仮定する場合、「非合理的なビリヤードのシーケンスを切断する」理論を議論しています。ここでは本質的に何も知られていないようです。たとえば、コリーナ・ウルシグライによるこの講演の最終文をご覧ください。

どちらの仮定も行わない場合、文献には何も考えられません。

最後に- プラトニックな固体に対するスーパーマリオギャラクシー問題の解があると思います。これは、理性的なビリヤードを始める大学院生にとって良い問題です。例えば、十二面体の場合は、ダイアナ・デイビスの論文から「すべき」です。（しかし、四面体から始めます-それは、六角形のトーラスの切断シーケンスの分析から続きます。）$O(\log(\ell))$

線形よりもうまくやれると思います。理論的なコンピューターサイエンスは初めてなので、これがゴミなら許してください。

いくつかの一般的なアイデア（価値の変化）：

• 各ファセットに記号を付けると、それらの上のマリオの軌道は文字列として記述できます。文字列の最後の記号が答えです。
• 一般性を失うことなく、マリオが端から始まると仮定することができます（後方に歩いて端までlを拡張します）
• 開始位置と角度の2D空間は、次のエッジで分割できます。したがって、エッジaから始まり、角度aで下からxユニット、1つのファセットを横断した後、エッジVになります。
• その時点で、別の方向の別のエッジにいるので、関数を再帰的に呼び出して、スペースを2シンボル文字列などのパーティションに分割できます。
• この時点で、TMに問題を実装するためにスペースを離散化する必要があると言えば、これで終了です。つまり、離散化された惑星には有限数の点しかないため、すべての軌道は周期的でなければなりません。すべての開始点の軌道ができ、この情報を保存するまで、上記の関数を計算できます。その後、問題はO（1）になります。
• たぶんそれはちょっとした警戒だ。いくつかのグーグルは、合理的な凸多角形の内部のほとんどすべてのビリヤード軌道が周期的である（つまり、周期的軌道が密である）ことを教えてくれます。（たとえば）正方形の惑星では、同じアプローチが機能する可能性があります。
• もう1つのアプローチは、システムを文字列のジェネレーター/レコグナイザーと見なすことです（各ファセットに独自のシンボルを割り当てることにより）。言語に既知の複雑度クラスがある場合、それがあなたの答えです。ポリトープのファミリーを非凸および任意の次元に拡大すると、非常に広範な言語のクラスをキャプチャできます。

これは実際には答えにはなりませんが、仕事に戻る必要があります。:)