スーパーマリオギャラクシーの問題


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マリオが惑星の表面を歩いているとします。既知の場所から一定の方向に所定の距離を歩き始めた場合、彼がどこで止まるかをどれくらい早く決定できますか?

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より正式に、我々は凸多面体を与えられていると仮定 3空間内で、開始点の表面に、方向ベクトル(いくつかの面を含む面内で)、及び距離。マリオのどのファセットが内部で停止するかをどれくらい早く決定できますか?(技術的なポイントとして、マリオが頂点に入るとすぐに爆発すると仮定します;幸いなことに、これはほとんど起こりません。)S P のV PのP PPsPvpPP

または、必要に応じて、ポリトープ、ソースポイント、および方向ベクトルが事前に与えられているとします。前処理の後、与えられた距離質問にどれくらい早く答えることができますか?S のV Psv

特にに三角形のファセットしかない場合、マリオの足跡を簡単にトレースするのは簡単です。マリオがそのエッジの1つからファセットに入るたびに、時間で他の2つのエッジのどちらから抜けなければならないかを判断できます。このアルゴリズムの実行時間は、エッジ交差の数でのみ線形であるが、それはです無限の距離があるため、入力サイズの関数として直径よりも任意に大きくすることができた。もっと良くできますか?O 1 ℓのPPO(1)P

バインドされたグローバルアッパーは、入力を表現するのに必要なビット数でありしかし、整数入力を主張することは、いくつかのかなり厄介な数値の問題を提起する-どのように計算します。(実際には、パスの長さは、実際には無制限ではありません。正確にどこ停止しますか?—では、実際の入力と正確な実際の演算に固執しましょう。)

この問題の複雑さについて重要なことは何ですか?

更新: julkiewiczのコメントを踏まえると、(ポリトープの複雑さ)の点で純粋に制限された実RAMの実行時間は不可能であることは明らかです。マリオがから始まり方向に歩いている、両面単位正方形の特殊なケースを考えてみましょう。マリオは、整数のパリティに応じて、正方形の前面または背面で停止します。PSPACEとPを一致させない限り、実際のRAMで一定時間内にフロア関数を計算することはできません。しかし、を計算でき[ 0 1 ] 20 1 / 2 1 0 O ログN ログℓをn[0,1]2(0,1/2)(1,0)O(log)単純なアルゴリズムに対する指数関数的な改善である指数関数検索による時間。 時間多項式は常に達成可能ですか?nlog


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より単純な問題、つまり、プレーンポリゴンと特定のポイントから移動する光線があることを考えました。エッジに達すると、ミラーリングされます。ビームが所定の距離の後に移動を終了する場所を知りたいです。ポリトープの高さが非常に低く、上面と底面が所定の多角形の形状であるポリトープを取ることにより、(ほぼ)これに減らすことができます。これを最初に解決することが役立つかもしれません。
-julkiewicz

3
「nとlog lの[T] ime多項式」は意味がありません。lに依存する場合、Pの座標にも依存する必要があります。入力にすべての数値の対数を追加すると、入力座標が整数に制限されている場合に入力を表すために必要なビット数になります。入力がビット文字列として与えられるとき、実際のRAMの時間の複雑さを見ていると思います。
伊藤剛

4
マリオがあればさえ決め、これまでの頂点(の独立したヒット)難しいと思われます。ここで、ビリヤードのダイナミクスの分野で多くの未知の問題に遭遇すると思います。
ジョセフ・オルーク

2
あまり関連していませんが、スーパーマリオのNP完全性に関するこの論文は本当に素晴らしいです:arxiv.org/pdf/1203.1895v1.pdf
ラミン

10
「多分それが非常に高い評価を受けている理由です」と複雑性理論について完全に無関心な人が言いました。
ジェフ

回答:


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この問題は非常に困難です。次のように、簡単にするために単純化できます。

  1. ポリトープすべての頂点に関する角度の合計が有理倍数であるという仮定を追加できます。これは、ほとんどの「ポリトープ」を取り除きますが、まだ多くの興味深い可能性があります:例えば、プラトンの固体。πPπ

  2. ポリトープは真の3次元ではなく、ポリゴンの「二重」であると想定できます。これは枕カバーに少し似ています。さらに単純化して、多角形の側面が等しく平行であると仮定します。たとえば、ゲームAstroidsのような正方形。

これら両方の仮定を立てると、大きな理論があります。(正方形のアルゴリズムを見つけることは、マリオのパスの角度の分数展開の継続を伴う難しい練習です。正八角形の同様の結果を達成することは可能ですが困難です。正方形と八角形は、「平行移動面上の測地線のカットシーケンス」を効率的にエンコードする方法を検討します。他のほとんどの有理多角形は、すぐに未解決の問題につながります。正方形のトーラスは、ダイアナ・デイビスによるこれらのスライドです。O(log())

合理性を仮定せず、多面体が多角形の二重であると仮定する場合、「非合理的なビリヤードのシーケンスを切断する」理論を議論しています。ここでは本質的に何も知られていないようです。たとえば、コリーナ・ウルシグライによるこの講演の最終文をご覧ください。

どちらの仮定も行わない場合、文献には何も考えられません。

最後に- プラトニックな固体に対するスーパーマリオギャラクシー問題の解があると思います。これは、理性的なビリヤードを始める大学院生にとって良い問題です。例えば、十二面体の場合は、ダイアナ・デイビスの論文から「すべき」です。(しかし、四面体から始めます-それは、六角形のトーラスの切断シーケンスの分析から続きます。)O(log())


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線形よりもうまくやれると思います。理論的なコンピューターサイエンスは初めてなので、これがゴミなら許してください。

いくつかの一般的なアイデア(価値の変化):

  • 各ファセットに記号を付けると、それらの上のマリオの軌道は文字列として記述できます。文字列の最後の記号が答えです。
  • 一般性を失うことなく、マリオが端から始まると仮定することができます(後方に歩いて端までlを拡張します)
  • 開始位置と角度の2D空間は、次のエッジで分割できます。したがって、エッジaから始まり、角度aで下からxユニット、1つのファセットを横断した後、エッジVになります。
  • その時点で、別の方向の別のエッジにいるので、関数を再帰的に呼び出して、スペースを2シンボル文字列などのパーティションに分割できます。
  • この時点で、TMに問題を実装するためにスペースを離散化する必要があると言えば、これで終了です。つまり、離散化された惑星には有限数の点しかないため、すべての軌道は周期的でなければなりません。すべての開始点の軌道ができ、この情報を保存するまで、上記の関数を計算できます。その後、問題はO(1)になります。
  • たぶんそれはちょっとした警戒だ。いくつかのグーグルは、合理的な凸多角形の内部のほとんどすべてのビリヤード軌道が周期的である(つまり、周期的軌道が密である)ことを教えてくれます。(たとえば)正方形の惑星では、同じアプローチが機能する可能性があります。
  • もう1つのアプローチは、システムを文字列のジェネレーター/レコグナイザーと見なすことです(各ファセットに独自のシンボルを割り当てることにより)。言語に既知の複雑度クラスがある場合、それがあなたの答えです。ポリトープのファミリーを非凸および任意の次元に拡大すると、非常に広範な言語のクラスをキャプチャできます。

これは実際には答えにはなりませんが、仕事に戻る必要があります。:)


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「この時点で、TMに問題を実装するためにスペースを離散化する必要があると言えば終了です。つまり、離散化された惑星には有限数の点しかないため、すべての軌道は周期的でなければなりません」問題の興味深い部分を破壊しました。入力が離散的であると仮定したくありません。これは、一定の時間で正確な実際の算術を実行できる理想的なコンピューターを必要としますが、実際の連続的な問題を解決したいです。特に、マリオのパスは頂点に触れる必要はありません。
ジェフ

それは簡単すぎると思った。開始点と惑星が有限に記述できる限り、有限バージョンのマシンで連続バージョンを実行できます。パスをシンボリックに表すことができます(数学スタイル)。特定の境界を評価するだけで、どのファセットに到達するかを見つけることができます。パスがほぼ確実に周期的であることを証明できる場合(合理的な凸ポリゴンのビリヤードの場合)、同じトリックを適用できますが、結果あまり実用的ではありません。
ピーター

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残念ながら、一般的な多面体の一般的な測地線は周期的ではありません。(特に、一般的なポリゴンは合理的ではありません。)
ジェフ

あなた(ピーター)は、「周期的ビリヤード軌道は合理的なポリゴンで密集している」という論文を参照していると思います。これは、合理的なポリゴンで周期的なパスが一般的であることを意味するものではありませ。実際、数え切れないほどの多くの定期的なパス(並列処理まで)しか存在しないため、ジェネリックになる可能性はありません。
サムネアド

実際、「Veech」ポリゴンでは、「ユニークなエルゴード」パスが完全に測定されます。したがって、マリオをランダムな方向に送信すると、(a)頂点にヒットすることはありません(ジェフが問題のステートメントで述べているように)、(b)彼のパスは決して閉じません、(c)大規模では、訪問された顔はランダムに見えます(「弱い混合」プロパティのため)。これが問題に否定的な答えを示唆していない-例えば、パイの数字は、ランダムに見える...
サムNead
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