タグ付けされた質問 「linear-algebra」

線形代数は、ベクトル空間と線形変換を扱います。

1
長方形行列のランクを計算する最速のアルゴリズムは何ですか？
行列（仮定与えられた場合、列のランクと基底を計算する最速のアルゴリズムは何ですか？m×nm×nm \times nm≥nm≥nm \ge n 時間決定論的アルゴリズムと時間ランダム化アルゴリズムを意味する線形マトロイド交差によって解決できることを知っています。そこにあるより直接的にマトリックス乗算に問題（またはガウスの消去法）を低減することを時間決定性アルゴリズムは？O(mn1.62)O(mn1.62)O(mn^{1.62})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})O(mnω−1)O(mnω−1)O(mn^{\omega-1})
4
線形方程式系の最も疎な解を見つける
線形方程式系の最もまばらな解を見つけるのはどれほど難しいですか？ より正式には、次の決定問題を考慮してください。 インスタンス：整数係数と数持つ線形方程式のシステムccc。 質問：少なくともccc個の変数がゼロに割り当てられているシステムの解決策はありますか？ また、に対する依存関係を判断しようとしていますccc。つまり、おそらく問題はパラメーター FPT cccです。 どんなアイデアや参考文献も本当に感謝しています。
1
行列が対角化可能かどうかを確認する複雑さは何ですか？
合理的なエントリを持つ行列Aが与えられます。Aが対角化可能であることを確認する複雑さは何ですか？n × nn×nn\times nAAAAAA これはPで実行できると思いますが、参照はわかりません。しかし、より興味深い質問は、この問題を捕捉するためのより複雑なクラスはありますか？ どんなガイダンス/コメントも歓迎します！ありがとう。
1
アルゴリズムベクトル問題
フィールドGF（2）のベクトルに関連する代数的問題があります。ましょう寸法の（0,1）-vectorsことN、およびM = N O （1 ）。uがv 1、v 2、… 、vの中の任意の（log n ）O （1 ）ベクトルの合計ではないような、同じ次元の（0,1）ベクトルuを見つける多項式時間アルゴリズムを見つけるv1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mnnnm=nO(1)m=nO(1)m=n^{O(1)}uuuuuu(logn)O(1)(log⁡n)O(1)(\log n)^{O(1)}。ベクトルの追加は、GF（2）の2つの要素0と1（ 0 + 1 = 0 + 1 = 1、および 0 + 0 = 1 + 1 = 0）を持つ2つの要素を持ちます。v1,v2,…,vmv1,v2,…,vmv_1,v_2, \ldots, v_m0+1=0+1=10+1=0+1=10+1=0+1=10+0=1+1=00+0=1+1=00+0=1+1=0 このようなベクトルuの存在は、単純なカウント引数によって簡単にわかります。多項式時間でを見つけることができますか？指数時間でuを見つけるのは簡単です。最初の正しい解決策に対して200ドルの小切手賞を送付します。uuuuuu
1
ほぼ線形の時間可解線形システムの場合
A x = bであるような長さnの正方実行列Aと2つのベクトルxおよびbを作成します。標準のガウス消去法によりxを 解くと、ほぼO （n 3）の集合複雑度が得られます。しかし、解決（または場合があるεため-approximately解決）xはコストOを（N ログρ nは）このようなシステムとして、n × nn×nn\times nAA{\bf A}バツバツ{\bf x}bb{\bf b}nnnA X = B。Aバツ=b。{\bf A}{\bf x}={\bf b}.バツバツ{\bf x}O （n3）O（n3）O(n^3)ϵϵ\epsilonバツバツ{\bf x}O （n ログρn ）O（nログρ⁡n）O(n\log^\rho n)AA{\bf A} は、対称で対角線上に優勢な行列（たとえば、ラプラシアン）です[1]。 線形（または行列）など、線形（または自明ではないpoly（n））時間解を認める線形システムの他のファミリはどれですか？実行列の代わりに有限体を考慮する場合、ほぼ線形の時間解を認める行列のファミリーはありますか？ [1] http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/linsolve.html
1
行列乗算
私は行列の乗算、だから私の最初の訪問について、探していたウィキ行列の乗算アルゴリズム、私が使用して請求論文の参考資料の中にアルゴリズムを、私は記事を読みに行くのだが、それは複雑だと意志読むには時間がかかりすぎますが、この記事を読んだり、このアルゴリズムを知っている人がいる場合、これは本当ですか？少し説明するために、この基本的なアイデアについて知っていますか。O （n2L O G（n ））O（n2log（n））O(n^2 log(n)) 事前に感謝します。少し一般的な質問であることは知っていますが、適切なアプローチであることがわかった場合は、詳細を学習します。
2
高速行列乗算のメモリ要件
行列を乗算するとします。低速行列乗算アルゴリズムは、時間O （n 3）で実行され、O （n 2）メモリを使用します。時間で最速の行列乗算の実行のn ω + O （1 ）、ωは線形代数一定であるが、そのメモリの複雑性について知られていますか？n×nn×nn \times nO(n3)O(n3)O(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)nω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}ωω\omega 高速行列乗算消費すること先験的可能かもしれないと思われるメモリ。O （n 2）メモリで実行できるという保証はありますか？現在知られている行列乗算アルゴリズムはO （n 2）メモリを使用するのですか？nωnωn^{\omega}O(n2)O(n2)O(n^2)O(n2)O(n2)O(n^2) （私は実際に長方形行列の乗算に興味がありますが、その場合の答えは正方形の場合と同じであり、正方形の場合の方がよく研究されていると思います。）
1
グラフラプラシアン（逆）共分散による多変量ガウスからのサンプリング
たとえば、Koutis-Miller-Peng（Spielman＆Tengの研究に基づく）から、非負のエッジ重みを持つスパースグラフのグラフラプラシアン行列である行列Aの線形システムAx=bAx=bA x = bを非常に迅速に解くことができることがわかります。 。AAA ここで（最初の質問）これらのグラフラプラシアン行列 1つをAAA共分散として使用するか、（2番目の質問）平均ゼロの多変量正規分布の逆共分散行列または。これらの各ケースについて、2つの質問があります。N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A.この分布からどのくらい効率的にサンプルを抽出できますか？（通常、サンプルを描画するには、コレスキー分解を計算し、標準法線描画してから、としてサンプルを計算します）。A=LLTA=LLTA = LL^Ty∼N(0,I)y∼N(0,I)y \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, I)x=L−1yx=L−1yx = L^{-1} y B.の行列式をどれだけ効率的に計算できますか？AAA これらは両方ともコレスキー分解があれば簡単に解決できることに注意してください。しかし、上記で参照した手法を使用しない標準スパースコレスキーアルゴリズムを使用するよりも効率的にを抽出する方法はすぐにはわかりません。動作しますが、これはまばらだが高ツリー幅のグラフでは立方体の複雑さを持ちます。LLL
1
バイナリーベクター
Iは設定されているのバイナリベクトルS = { S 1、... 、sはN } ⊆ { 0 、1 } K ∖ { 1 、K }とターゲットベクトルT = 1 Kすべてのもののベクトルです。nnnS={s1,…,sn}⊆{0,1}k∖{1k}S={s1,…,sn}⊆{0,1}k∖{1k}S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}t=1kt=1kt = 1^k 推測：場合の要素の線形結合として書くことができるS上Z / QのZすべてに対するプライムパワーのQは、Tは、の線形結合として書くことができるS上Z、すなわち、整数係数を有する線形結合が存在しますこれはZ上のtになります。tttSSSZ/qZZ/qZ\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} qqqtttSSSZZ\mathbb{Z}tttZZ\mathbb{Z} これは本当ですか？それは誰にも馴染みがありますか？このトピックに関する文献を検索する際にどのキーワードを使用すればよいかわからないため、ご意見をお待ちしています。 逆は確かに成立することを確認します。if 整数の私は、同じ和のmodの評価Qを任意のモジュラスのためにqがまだ平等を与えます。したがって、整数係数との線形結合は、すべての係数の線形結合の存在を意味します。t=∑ni=1αisit=∑i=1nαisit = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_iaiaia_iqqqqqq 編集14-12-2017：最初は予想が強かったため、tがすべての素数qに対するmod qの線形結合である場合は常に上の線形結合の存在を主張しました。これは、私のアルゴリズムのアプリケーションで悪用する方が簡単でしたが、間違っていることが判明しました。これは反例です。s 1、… 、s nは、次の行列の行で与えられます。ZZ\mathbb{Z}tttqqqqqqs1,…,sns1,…,sns_1, \ldots, s_n …
1
データベース集約はどのようにしてモノイドを形成しますか？
上cs.stackexchange私はについて尋ねalgebird彼らは抽象代数パッケージを必要とするかもしれない理由を推測、githubの上でScalaのライブラリ。 githubページにはいくつかの手がかりがあります。 ブルームフィルター、HyperLogLog、CountMinSketchなどの興味深い近似アルゴリズム用のモノイドの実装。これらにより、これらの洗練された操作を数字のように考えることができ、強力な統計と分析を生成するためにそれらをhadoopまたはオンラインで合計できます。 GitHubページの別の部分で： 元々は、ScaldingのMatrix APIの一部として開発されたもので、マトリックスには、モノイド、グループ、またはリングの要素である値がありました。その後、Scalding内およびTwitter内の他のプロジェクトでコードがより広範なアプリケーションを持つことが明らかになりました。 TwitterのOskar Boykinでさえ、 主な答えは、セミグループ構造を活用することで、基になる操作を知らなくても正しく並列化するシステムを構築できることです（ユーザーは結合性を約束しています）。 モノイドを使用することで、スパース性を利用できます（モノイドではほとんどすべての値がゼロである多数のスパース行列を扱います）。 リングを使用することにより、数値以外の行列乗算を実行できます（場合によっては実行しました）。 algebirdプロジェクト自体（および問題の履歴）は、ここで何が行われているのかをかなり明確に説明しています。 （これは通常、数千のノードでアルゴリズムを生産しようとするときの問題点です）。 セミグループ/モノ/グループ/リングについてシステムの問題を一度解決すれば、Memcache、Hadoop、Stormなどを考えずにアルゴリズムをプラグインできます。 どのようにしているBloom filters/ hyperloglog/ countminsketch番号など？ データベース集約がモノイダル構造を持っているのはどうですか？ このモノイドはどのように見えますか？彼らはグループ構造を持っていますか？ 文献の参照が役立ちます。
1
一般的な位置でのベクトルの構築
本当ましょう （K ≤ N）行列Aの任意のコレクションという特性を持つk個の列がフルランクであるが。k×nk×nk\times nk≤nk≤nk\le nAA{\bf A}kkk Q：拡張マトリックスA ′ = [ Aのようなベクトルを決定論的に見つける効率的な方法はありますかaa{\bf a}は Aと同じプロパティを保持します。k列はフルランクです。A′=[Aa]A′=[Aa]{\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]AA{\bf A}kkk 関連する補足事項：このプロパティを持つマトリックスは、(n,k)(n,k)(n,k)リードソロモンコードのジェネレーターです。Vandermonde構造を保持する列を追加すると、ランクプロパティが保持されます。
2
上
編集（タラB著）：私は自分の論文のためにそれを自分自身で証明しなければならなかったので、この証拠への参照にまだ興味があります。 この論文に登場する定理4の証明を探しています。 LiuとWeinerによる文脈自由言語の交差点の無限階層。 定理4：アン次元アフィンマニホールド寸法である各々がアフィンマニホールドの有限和集合として表現できませんN - 1以下です。nnnn−1n−1n-1 誰かが証拠への言及を知っていますか？ 多様体が有限であり、要素に自然順序を定義する場合、格子に関して同様のステートメントはありますか？ 定理を理解するための背景： 定義：レッツ有理数の集合とします。部分集合M ⊆ Qは Nであるアフィンマニホールド場合（λ X + （1 - λ ）Y ）∈ Mときのx ∈ M、Y ∈ M、及びλ ∈ Q。QQ\mathbb{Q}M⊆QnM⊆QnM\subseteq \mathbb{Q}^n(λx+(1−λ)y)∈M(λx+(1−λ)y)∈M(\lambda x+(1-\lambda)y)\in Mx∈Mx∈Mx\in My∈My∈My\in Mλ∈Qλ∈Q\lambda\in\mathbb{Q} 定義：アフィンマニホールドアフィンマニホールドと平行になるようにと言われているMであればM " = M + Aいくつかのため∈ Qのn。M′M′M'MMMM′=M+aM′=M+aM'=M+aa∈Qna∈Qna\in \mathbb{Q}^n 定理：各非空アフィンマニホールドのユニークな部分空間に平行であるK。このKは、で与えられるK = { X - Y ：X 、Y ∈ M …
1
なぜログランク予想は実数よりランクを使用するのですか？
通信の複雑さにおいて、ログランク予想は次のように述べています cc(M)=(logrk(M))O(1)cc(M)=(log⁡rk(M))O(1)cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)} ここで、はの通信の複雑度であり、は実数上の（行列としての）のランクです。M （x 、y ）r k （M ）Mcc(M)cc(M)cc(M)M(x,y)M(x,y)M(x,y)rk(M)rk(M)rk(M)MMM ただし、rank-methodを使用して下限のを使用している場合は、便利な任意のフィールドでを使用できます。なぜログランク予想は実数以上のrkに制限されるのですか？ゼロ以外の特性のフィールドでの予想は解決されますか？そうでない場合には、関心のある約そこに何か特別なものですオーバー？r k r k r k Rcc(M)cc(M)cc(M)rkrkrkrkrkrkrkrkrkRR\mathbb{R}
1
そのようなマトリックスは存在できますか？
私の仕事中に私は次の問題を思いつきました： 私が見つけることを試みているn×nn×nn \times n (0,1)(0,1)(0,1) -マトリックスMMM任意のため、n>3n>3n > 3次のプロパティを持ちます、： の行列式MMMは偶数です。 任意の空でない部分集合のためのI,J⊆{1,2,3}I,J⊆{1,2,3}I,J\subseteq\{1,2,3\}と|I|=|J||I|=|J||I| = |J|、部分行列MIJMJIM^I_Jは、場合にのみ奇数行列式を持ちI=JI=JI=Jます。 ここでMIJMJIM^I_Jは、Iにインデックスを持つ行とJにインデックスを持つ列を削除することによって作成されたのサブマトリックスを示します。MMMIIIJJJ これまでは、ランダムサンプリングによってそのような行列を見つけようとしましたが、最初の行列を除くすべてのプロパティを持つ行列のみを見つけることができます。つまり、行列には​​常に奇数の行列式があります。さまざまな次元とさまざまな入出力セットを試しましたが、成功しませんでした。だからこれは私に考えさせます： 要件間に依存関係があり、それらが同時に真になることを妨げていますか？ または そのようなマトリックスが存在する可能性はありますか？誰かが私に例を示すことができますか？ ありがとう、エッチ
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.