線形方程式系の最も疎な解を見つける

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線形方程式系の最もまばらな解を見つけるのはどれほど難しいですか？

より正式には、次の決定問題を考慮してください。

インスタンス：整数係数と数持つ線形方程式のシステム $c$ 。

質問：少なくとも $c$ 個の変数がゼロに割り当てられているシステムの解決策はありますか？

また、に対する依存関係を判断しようとしてい $c$ 。つまり、おそらく問題はパラメーター FPT $c$ です。

どんなアイデアや参考文献も本当に感謝しています。

— マイケル・ウェハール
ソース

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いくつかのリングで満たされる線形方程式の数を最大化する問題を考えます。これは、たとえば場合に、NP困難であることがよくあります。 $\text{MAX-LIN}(R)$ $R$ $R=\mathbb{Z}$

この問題のインスタンスを取り、であるマトリックス。ましょう。新しい線形システム構築、である行列、今である次元のベクトル、及び $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ ある次元ベクトル： $kn$

\overset{〜}{A} = [\begin{matrix} A & 私_{n} \\ 私_{n} & - 私_{n} \\ 私_{n} & - 私_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ 私_{n} & - 私_{n} \end{matrix}] 、 \overset{〜}{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$ である

恒等行列。

n \times n

$n \times n$

このシステムは常にベクトルによって満たされることに注意してください。実際、最初のエントリ $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ 任意とすることができ、その接頭辞を持ついくつかの解ベクトルがあります。 $\tilde{x}$

私は今、その主張方程式の画分充足IFFは疎液が存在している少なくとも有しゼロ。これは、を拡張すると、すべての満たされた行が潜在的なゼロをもたらすためです。 $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

我々はに疎液のスパース見つけた場合このように、、我々はまた、最大化しています $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ することによってスパースを分割することにより、。 $\delta$ $k$

したがって、あなたの問題はNP困難だと思います。

— ジョー・ベベル
ソース

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涼しい！共有していただきありがとうございます。それで、依存関係はcに何だと思いますか？あなたは私たちがより少ないでそれを解決することができると思いますか

ここで、

は入力サイズですか？

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— マイケル・ウィアー

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確かに、

要素がゼロであると仮定した場合、それらの要素を

から削除して低次元の

を取得し、

から対応する列を削除して

を取得できます。次に、ガウス消去法を使用して、縮小システム

が実行可能かどうかを判断します。そうである場合、スパースソリューションが見つかりました。次に、すべて

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

可能な

。

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— ジョーベベル

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私はこの問題はFPTかではないがあるかどうかわからない@MichaelWehar

— ジョー・ベーベル

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与えられた：問題は、次のような問題から還元によって、NP完全である行列整数エントリを持つ整数ベクトルと 0-1ベクトルが存在しない、エントリと？ $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

ベクトルのすべての座標に対して $x_i$ 、 $x$

導入新しい方程式はと、及び $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
導入新しい方程式はと $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ ます。 $k=1,\ldots,100(n+m)$

さらに、古い方程式システムます。 $Ax=b$

新しいシステムに少なくとも変数がゼロである解がある場合にのみ、元のシステムに対する0-1解が存在します。 $Ax=b$ $100(n+m)n$

— ガモフ
ソース

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これは、最も疎な解ベクトル問題と呼ばれ、確かにNP-hardです。

— RB
ソース

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この問題は、さまざまな設定で困難です。この質問に対する他の回答で述べたように、問題は整数全体でNP完全です。

信号処理では、行列とベクトルには合理的なエントリがあり、この問題はスパース再構成問題と呼ばれることもあります。この設定では、問題はNP完全です（定理1を参照）。

コーディング理論では、エントリは有限体からのものであり、この問題は最尤復号化問題と呼ばれることもあります。この設定では、指数時間仮説を仮定すると、問題はNP完全であり、準指数時間ではありません。さらに、arXivに関するペーパーの以前のバージョン（ペーパーのバージョン1の補題C.2を参照）によると、問題はW [1]完了です。

— アルゼンチンのコショウ
ソース

W [1]-完全性への参照には、「補題C.2」が含まれていないようです。

@RickyDemer彼がリンクした論文のバージョン1には補題C.2があります。ただし、バージョン2は異なるタイトルを持っているようで、ごく最近変更されました。

— マイケル・ウィアー

その補題は、OPとは異なるパラメーター化を使用します。

更新されたバージョンがあることに気づかなかったので、それを見て、それに応じて回答を更新します。

— argentpepper

以前のコメントで述べたように、「補題はOPとは異なるパラメーター化を使用している」ため、結果が真であると仮定しても（バージョン2から削除されたにもかかわらず）、パラメーター化された複雑さに関するOPの質問は未解決のままです。