タグ付けされた質問 「linear-algebra」

標準の形の多面体があるとしましょう： Ax=bx≥0Ax=bx≥0\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*} 超平面の各辺の頂点の数がほぼ同じになるように多面体を分割する超平面を見つける既知の方法はありますか？（つまり、分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差を最小化するアルゴリズム）。dx+d0=0dx+d0=0\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0 また、この問題の複雑さに関する既知の結果はありますか？ 補遺：カットの種類の制限： これは元の問題のバリエーションで、元の問題よりも簡単に解決できることを期待しています。 d i x i + d 0 = 0の形式の超平面である座標が分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差が最も低くなるのを効率的に計算または推定する方法はありますか？効率的とは、可能なすべての分割について、頂点のカーディナリティをすべて列挙するよりも効率的なことを意味します。iiidixi+d0=0dixi+d0=0d_ix_i + d_0 = 0 注：数日間の少しの進歩の後、私はこの質問をMathOverflowにも投稿しました。

10 ds.algorithms  linear-programming  linear-algebra 

Bernstein and Vaziraniの独創的な論文「Quantum Complexity Theory」では、次元ユニタリー変換が、「自明な回転」と「自明な位相シフト」と呼ばれるものの積によって効率的に近似できることを示しています。ddd 「自明な回転」とは、2次元以外のすべての単位として機能する次元のユニタリ行列ですが、これら2つの次元が広がる平面内の回転として機能します（つまり、次の形式の2x2サブ行列があります：ddd (cosθsinθ−sinθcosθ)（cos⁡θ−罪⁡θ罪⁡θcos⁡θ） \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix} いくつかのために）。θθ\theta 「ほぼ自明な位相シフト」は、1次元以外のすべての単位として機能する次元のユニタリ行列ですが、一部のに対してその1次元の係数を適用します。dddeiθeiθe^{i\theta}θθ\theta さらに、角度が非合理的な倍数である場合（BVが角度を設定すると）、（回転ユニタリーと位相シフトユニタリーの両方に）必要な回転角度は1つだけであることを示します。2π2π2\pi2π∑∞j=12−2j2π∑j=1∞2−2j2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}} （Adleman et alまたはFortnow and Rogersによるような）量子複雑性理論に関する後続の論文では、BVの結果は、普遍的な量子計算がユニタリー演算子で実行できることを示唆していると主張しています。RR\mathbb{R} これはどのように続きますか？自明な回転行列の積は、実際のエントリを持つユニタリ行列を与えることを理解できますが、位相シフト行列はどうですか？ つまり、自明な回転と、行列のエントリが0、\ pm 1のいずれかである位相シフト行列しか実行できない場合0,±10,±10,\pm 1、他のすべての位相シフト行列を効率的に近似できますか？ この含意はすぐには明らかではないのではないかと思います。それに対する適切な証拠は、ドイツのトッフォリのような門が普遍的であるという証拠に似ているでしょうか？

10 quantum-computing  linear-algebra  universal-computation 

0-1行列のランクの対数は決定論的な通信の複雑さの下限であり、近似ランクの対数はランダム化された通信の複雑さの下限であることはわかっています。確定的な通信の複雑さとランダム化された通信の複雑さの最大のギャップは指数関数的です。では、ブール行列のランクと近似ランクの間のギャップはどうですか？

10 co.combinatorics  linear-algebra  matrices  communication-complexity  boolean-matrix 

線形誤り訂正符号の任意の公知の構成がある（合理的なパラメータを持つ）、ブールベクトルの所与の場合ように、V ∈ { 0 、1 } nは、それはまた、ブールベクトルを返しますwhp？（F qを超えていますが）ECC:Fnq→FmqECC:Fqn→Fqm\mathsf{ECC}:\mathbb{F}_q^n \to \mathbb{F}_q^mv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nFqFq\mathbb{F}_q Pr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵPr[ECC(v)∈{0,1}m]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}(v) \in \{0,1\}^m]>1-\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^nϵϵ\epsilon そうでない場合、我々はに条件をどのように緩和場合 戻る「番目の座標、任意に小さく、確率が両方ともに均一選択取られると均一座標選ぶ。Pr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵPr[ECCi(v)∈{0,1}]>1−ϵ\Pr[\mathsf{ECC}_i(v) \in \{0,1\}]> 1-\epsilonECCiECCi\mathsf{ECC}_iiiiECCECC\mathsf{ECC}ϵϵ\epsilonv∈{0,1}nv∈{0,1}nv\in \{0,1\}^ni∈[m]i∈[m]i\in[m]

10 co.combinatorics  linear-algebra  coding-theory 

LET AAA有限体上の行列であるF2={0,1}F2={0,1}\mathbb{F}_2 = \{0,1\}とxxx、yyy空間のベクトルでFn2F2n\mathbb{F}_2^n。私はそこに存在しているかどうかを決定する計算の複雑さに興味t∈Nt∈Nt \in \mathbb{N}、そのようなことトンのx = yの有限体上の線形動的システムの到達可能性の問題で、すなわち、。Atx=yAtx=yA^t x = y 問題は、明らかであるNPNP\mathbf{NP}（推測0≤t&lt;2n0≤t&lt;2n0 \le t < 2^nと計算AtAtA^t繰り返し二乗することによって多項式時間で）。私と私の同僚も証明することができたNPNP\mathbf{NP} -completenessが存在するか否かを確立するための関連する問題のt∈Nt∈Nt \in \mathbb{N}ようにAtx≥yAtx≥yA^t x \ge y、≥≥\ge要素ごと不等式です。 この問題は非常に自然なようですが、正確な用語を知らないためか、文献で計算の複雑さについての言及を見つけることができませんでした。等式の問題が完全であるか、それともNPNP\mathbf{NP}実際にPP\mathbf{P}かを知っていますか？

10 cc.complexity-theory  reference-request  linear-algebra 

ガウスの消去には算術演算が必要ですが、より優れたアルゴリズムが知られているかどうかはわかりません。O(n3)O(n3)O(n^3)

10 ds.algorithms  linear-algebra  matrices 

タイトルごとに、汎用LPソルバーを使用する以外に、不等式がの形式を持つ変数で不等式のシステムを解くためのアプローチがあります？のべき集合のメンバーの合計に対して全順序を形成する不等式の特別な場合はどうですか？Σ I ∈ I X 、I &lt; Σ J ∈ J X J { X I、··· 、X K }バツ私、… 、xkxi,…,xkx_i, \ldots, x_kΣ私∈ 私バツ私&lt; ∑J ∈ Jバツj∑i∈Ixi&lt;∑j∈Jxj\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j{ x私、… 、xk}{xi,…,xk}\{x_i, \ldots, x_k\}

9 ds.algorithms  linear-algebra  linear-programming 

単に解決策ではなく、最小値を想定するポリトープの面で可能な限り中心的な解決策が必要な線形プログラムがあります。 先験的に、最小化されている目的関数が多くの制約の最大値であることを含む、さまざまな理由から、最小化面は高次元である必要があります。 すべてのと、線形およびでを条件として最小化します。F I（ˉ X）≤ ε &lt; 0 F I X 、I &gt; 0 I Σ I X 、I = 1ϵϵ\epsilonfi(x¯)≤ϵ&lt;0fi(x¯)≤ϵ&lt;0f_i(\bar x) \leq \epsilon < 0fifif_ixi&gt;0xi&gt;0x_i > 0iii∑ixi=1∑ixi=1\sum_i x_i = 1 もちろん、シンプレックスアルゴリズムから中心性のようなプロパティを取得することはありません。しかし、通常の内点アルゴリズムのいずれかがそのような特性を示しますか？可能な限り頂点や低次元の面を回避することさえ保証しますか？ 実際、中心性は最小性よりも重要であるため、ポリトープ全体の中点を見つける簡単な2次プログラムで満足していると思います。他の線形プログラミングアルゴリズムが関連するプロパティを提供しているかどうかは漠然と知りたいだけです。 更新：私は根本的な問題をラグランジュ乗数で解決可能な単純な制約付き最小化問題に減らしましたが、上記の質問はとにかく興味深いままです。

9 ds.algorithms  linear-algebra  linear-programming 

ヒルベルト空間考える。Unextendable Product Basis（UPB）は、製品ベクトルのセットです。V I ⟩ = | V 1 I ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | V nは私 ⟩ように：H= H1⊗ ⋯ ⊗ HんH=H1⊗⋯⊗HんH = H_1 \otimes \dots \otimes H_n| v私⟩ = | v1私⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | vん私⟩|v私⟩=|v私1⟩⊗⋯⊗|v私ん⟩\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle a）すべて互いに直交しています| …

9 quantum-computing  linear-algebra  quantum-information 

これは、前の質問の特殊版です： マトリックスの固有分解を見つけることの複雑さ。 NxN対称行列の場合、固有分解を計算するにはO（N ^ 3）時間で十分であることがわかっています。問題は、サブキュービックな複雑さを実現できるかどうかです。ありがとう。

9 ds.algorithms  time-complexity  matrices  linear-algebra  na.numerical-analysis 

次の問題を検討してください。 直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルddd。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in Sそれは、このようなv1⋅v2=0v1⋅v2=0v_1 \cdot v_2 = 0？ 非直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルdddと正の整数kkk。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in S、このようなv1⋅v2≥kv1⋅v2≥kv_1 \cdot v_2 \geq k？ これら2つの問題の関係は何ですか？ 特に、ここで私が疑問に思っているいくつかのより具体的な質問を示します。 （1）これらの問題のどちらかが他よりも難しいように見えますか？ （2）私は確かに芸術アルゴリズムの現在の状態がOVP何のためにあるのかが、これらの問題のいずれかのために、あなたは上限よりも良い得ることができていないよO(n2⋅d)O(n2⋅d)O(n^2 \cdot d)時間は？ （3）kkkを修正することは、2番目の問題の複雑さに対して何か違いがありますか？ 、Iは、の内積平均V 1及びV 2を超えるR dは。v1⋅v2v1⋅v2v_1 \cdot v_2v1v1v_1v2v2v_2RdRd\mathbb{R^d} 編集：が小さい場合、ほとんどの応答は本当に素晴らしい洞察を提供します。 ddd が大きい場合、何が言えるでしょうか。d = nまたはd = √と言いますdddd=nd=nd = n 又は少なくともD=Nαいくつかのためにα&gt;0。d=n−−√d=nd = \sqrt{n}d=nαd=nαd = n^\alphaα&gt;0α&gt;0\alpha > 0

8 cc.complexity-theory  ds.algorithms  linear-algebra  polynomial-time  boolean-matrix 

対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。 有向グラフことが知られている隣接行列有するA （G ）、その固有値バイナリである{ 0 、1 }あればGは、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点v 1、の列挙が修正されます。。、v nであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、0 / 1のエントリを持つ上三角行列になります。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)A(G)A(G)A(G){0,1}{0,1}\{0,1\}GGGv1,..,vnv1,..,vnv_1,.., v_n0/10/10/1 しかし、GGGがもう一方の端である場合、つまりGGGがnnn個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。 一般に、特性多項式をA(G)A(G)A(G)計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、A(G)A(G)A(G)である{0,1}{0,1}\{0,1\}マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。 ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。 ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。 ： Gを n個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値 A Gは実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値 λように iがm個（λ ）≥ 1 / P O LのY （N ）。Conjecture: Dichotomy of eigenvaluesConjecture: Dichotomy of eigenvalues\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}GGGnnnAGAGA_Gλλ\lambdaim(λ)≥1/poly(n)im(λ)≥1/poly(n)im(\lambda)\geq 1/poly(n) そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか？あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？

8 graph-theory  graph-algorithms  linear-algebra  spectral-graph-theory 

私が（主成分分析用に）作成したプログラムで分散共分散行列の計算を使用していて、その複雑さは何なのかと思っています。明らかに、固有ベクトル分解が最大のパフォーマンスヒットを引き起こしていますが、そのヒットのどの程度が共分散行列の計算によって引き起こされているのかと思います。 私が使用するように推定漸近実行時間はナイーブなアルゴリズムを使用して、そのサイズの全てのデータを用い取る必要があるため、Nを、次いで、すべての寸法のためにそれを行う必要があり（ここで、Nであります次元数）ネストされた反復で、n 2サイズの行列を生成します。O(N⋅n2)O(N⋅n2)O(N\cdot n^2)NNNnnnn2n2n^2 私の仮定は正しいですか、そうでなければ、漸近的な複雑さは何ですか？

8 time-complexity  linear-algebra  matrices 

次の意味で、アフィン関係の推移閉包の計算に関する研究を探しています。 レッツ 実際の変数を超える線形不等式のシステムで定義された関係も 、つまりR(x1,…,xn,x′1,…,x′n)R(x1,…,xn,x1′,…,xn′)R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)x1,…,xn,x′1,…,x′nx1,…,xn,x1′,…,xn′x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n R(x1,…,xn,x′1,…,x′n)R(x1,…,xn,x1′,…,xn′)R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n) iff Ax1…xnx′1…x′n≤bAx1…xnx1′…xn′≤bA x_1\dots x_n x'_1\dots x'_n \leq b ここで、は行列で、はベクトルです。AAAm×2nm×2nm\times 2nbbbmmm 記号表現を探しています。RkRkR^k Rk(x1,…,xn,x′1,…,x′n)Rk(x1,…,xn,x1′,…,xn′)R^k(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)が存在するときに限りように および 。y1,…,yny1,…,yny_1,\dots,y_nRk−1(x1,…,xn,y1,…,yn)Rk−1(x1,…,xn,y1,…,yn)R^{k-1}(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)R(y1,…,yn,x′1,…,x′n)R(y1,…,yn,x1′,…,xn′)R(y_1,\dots,y_n,x'_1,\dots,x'_n) 非常に簡単な例として、 R(x,x′)R(x,x′)R(x,x') iffおよびx′≤x+1x′≤x+1x'\leq x+1x′≥12xx′≥12xx'\geq \frac{1}{2} x この場合、 iffおよびRk(x,x′)Rk(x,x′)R^k(x,x')x′≤x+kx′≤x+kx'\leq x+kx′≥12kxx′≥12kxx'\geq \frac{1}{2^k} x すべての制約が等式である簡単な特殊なケースがあります。次に、ガウスの消去法を適用して、を（依存する）マップし、その乗を計算するアフィン変換を見つけます。しかし、もちろん一般的に、は機能しません。xixix_ix′jxj′x'_jkkkRRR この問題は、が開いたポリトープ と凸面の円錐を表すときにも簡単に見えますが、私はこれを仮定することはできません。RRR 編集：（おもちゃの例のように）の具体的な値に依存しないパラメトリックフォームを探しています。与えられた値、表現は常にとから変数除去によって得られます。kkkkkkRkRkR^kRk−1Rk−1R^{k-1}RRR

8 ds.algorithms  linear-algebra  matrices