ランクとおおよそのランクの最大のギャップは何ですか？

0-1行列のランクの対数は決定論的な通信の複雑さの下限であり、近似ランクの対数はランダム化された通信の複雑さの下限であることはわかっています。確定的な通信の複雑さとランダム化された通信の複雑さの最大のギャップは指数関数的です。では、ブール行列のランクと近似ランクの間のギャップはどうですか？

— ピャオ
ソース

行列の「近似ランク」とは何ですか？

— Suresh Venkat

ブール行列の-approximateランク

実行列の最低ランクである

と異なる

によって最大で

任意のエントリに（参照Buhrman狼2001、「多項式による通信複雑下限」）。（それが必要な定義があります場合は）これを説明するための質問を編集しての役割を記述するために役立つだろう

（ランクの差が明確に依存するため、

）。

ϵ

$\epsilon$

M

$M$

A

$A$

M

$M$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— mjqxxxx

まず、背景を説明し、おおよそのランクを定義します。参考になるのは、LeeとSchraibmanによるコミュニケーションの複雑さに関する下限に関する最近の調査です。

$A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

とき定義 $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ 。

Krauseの結果によると、で、とはによってエラーが上限となる限定エラープライベートコイン通信の複雑さ。 $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

上記は背景です。次に、質問に答えるために、PaturiとSimonは、の無制限エラー通信の複雑さを完全に特徴付けていることを示しまし。彼らはまた、これが通信行列がであるブール関数を実現する配置の最小次元と一致することを示しまし。等式関数の無制限エラー通信の複雑さはです。心に留めておきます。 $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

等式の通信行列は、単なる同一性です。つまり、対角線がすべて1の行と列のブール行列です。これを示しましょう。アロンは、が対数係数まできついことを示しました（クラウスの定理により、）。 $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

単位行列はフルランク、つまりです。したがって、および指数関数的に大きな分離があります。 $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— マルコス・ビヤグラ
ソース

ありがとう。しかし、私の質問は、とに超指数ギャップがあるかどうかです。ここで、ではなくです。

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

ああ、わかりましたが、質問には書かれていません。私の知る限り、最大のギャップは指数関数的です。

— Marcos Villagra

Marcosは、と間にギャップがあることを示すリファレンスを提供しています。行列のサイズが場合、どのようにして超指数関数的なギャップが生じますか？

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov、2011

ではなく、ギャップを意味しますか？

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov、2011

Sashoは、良いポイントになりますが、任意の通信の問題のために、行列が上常にある超指数」とは何を意味するのですか？。

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— マルコスVillagra