有向グラフのスペクトルの二分法

対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。

有向グラフことが知られている隣接行列有する、その固有値バイナリであるあれば、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点列挙が修正されますであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、エントリを持つ上三角行列になります。 $G = (V,E)$ $A(G)$ $\{0,1\}$ $G$ $v_1,.., v_n$ $0/1$

しかし、 $G$ がもう一方の端である場合、つまり $G$ が $n$ 個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。

一般に、特性多項式を $A(G)$ 計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、 $A(G)$ である $\{0,1\}$ マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。

ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。

ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。

：を個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値ように。 $\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}$ $G$ $n$ $A_G$ $\lambda$ $im(\lambda)\geq 1/poly(n)$

そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか？あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？

— リオ・エルダー
ソース

基本的に無向のグラフ、つまり各エッジが両方向に現れるグラフは、対称的なラプラシアンを持ち、すべての固有値は実数になります。なぜそれがあなたの推測の反例にならないのですか？また、私が「非常に規則的」と呼んでいるものは、「強く接続されている」ように見えます。違いはありますか？

— Sasho Nikolov 2016

すみません-推測のタイプミスを修正しました。非常に規則的なグラフは無向ではありません。有向EDGEではなく、2つの頂点間に有向パスがあります。

— Lior Eldar 2016年

説明はわかりません。エッジは長さ1のパスではありませんか？両方向のすべてのエッジを含むグラフが強く規則化されないのはなぜですか？グラフに長さ2のサイクルがないことを要求しますか？

— Sasho Nikolov

ああ-なるほど-あなたの例を反映するように推測を修正しました。本質的に「無向」ではない、強く接続された有向グラフのみを検討します。ありがとう。

— Lior Eldar 2016年

有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？私はそれができると確信しています。しかし、これは多項式的に小さい虚数成分を持つ別の固有値の存在を排除するものではないので、それが推測にどのように関連するかはわかりません。存在量指定子と普遍量指定子を混同していませんか？

— EmilJeřábek16年

回答:

「代替的に、有向グラフは指数関数的に小さな虚数成分をもつ固有値を持つことができる」という答えはYESです（ただし、この推測について「代替」とは何なのかはわかりません。

$f\in\mathbb Z[x]$ $G$ $O(\deg(f)+\|f\|_1)$ $f$ 思ったとおり簡単に見つけられたので、レコードの適切な回答としてそれを書くことにしました。

指数関数的に小さい根分離と多項式のいくつかの例がSchönhageによって記載されている[1]、特に多項式のファミリ Mignotte〔に起因2]（現時点ではアクセスできないため、確認できません）。ここで、これらの多項式はそれぞれ、距離に近い実根のペアを持っていますが、複素根のペアが必要です。ただし、これは多項式をわずかに変更することで簡単に達成できます明らかに、この多項式には正の実根はありません（場合も負の実根はありません）

x^{n} - 2 (c x - 1)^{2} (n \geq 3, c \geq 2)

$x^n-2(cx-1)^2\qquad(n\ge3,c\ge2)$

1 / c

$1/c$

< 2 / c^{1 + n / 2}

$<2/c^{1+n/2}$

f (x) = x^{n} + (2 x - 1)^{2} = x^{n} + 4 x^{2} - 4 x + 1.

$f(x)=x^n\mathbin{\color{red}+}(2x-1)^2=x^n+4x^2-4x+1.$

n

$n$ です）。さらに、までの指数関数的に短い距離に、（実際には非実数の）根のペアがまだあることを示すのは簡単です。計算をしなかった場合、これらの根はおよそこれで、は、たとえば行列行列式として記述できます。したがって、個の頂点上の加重有向グラフ隣接行列の特性多項式として

1 / 2

$1/2$

z_{\pm} = \frac{1}{2} \pm i 2^{- 1 - \frac{n}{2}} + O (n 2^{- n}) .

$z_\pm=\frac12\pm i2^{-1-\frac n2}+O(n2^{-n}).$

f (x)

$f(x)$

n \times n

$n\times n$

(\begin{matrix} x & - 1 \\ x & - 1 \\ x & - 1 \\ ⋱ \\ x & - 1 \\ 1 & - 4 & 4 & x \end{matrix})

$\begin{pmatrix} x&-1\\ &x&-1\\ &&x&-1\\ &&&\ddots\\ &&&&x&-1\\ 1&-4&4&&&x \end{pmatrix}$

G_{0}

$G_0$

n

$n$

{0, \dots, n - 1}

$\{0,\dots,n-1\}$

i \to i + 1

$i\to i+1$

1

$1$

i = 0, \dots, n - 2

$i=0,\dots,n-2$ ; 重み ; 重み ; そして、重量。したがって、の固有値は、を含む、正確にの根です。

n - 1 \to 0

$n-1\to0$

- 1

$-1$

n - 1 \to 1

$n-1\to1$

4

$4$

n - 1 \to 2

$n-1\to2$

- 4

$-4$

G_{0}

$G_0$

f

$f$

z_{\pm}

$z_\pm$

最後に、の固有値非加重有向グラフの固有値の中に含まれるに頂点エッジおよび for ; および for ; 、 ; および、、、 for $G_0$ $G_1$ $2n+6$

0_{+}, 0_{-}, \dots, (n - 2)_{+}, (n - 2)_{-}, (n - 1)_{+}^{0}, \dots, (n - 1)_{+}^{3}, (n - 1)_{-}^{0}, \dots, (n - 1)_{-}^{3}

$0_+,0_-,\dots,(n-2)_+,(n-2)_-,(n-1)_+^0,\dots,(n-1)_+^3,(n-1)_-^0,\dots,(n-1)_-^3$

i_{+} \to (i + 1)_{+}

$i_+\to(i+1)_+$

i_{-} \to (i + 1)_{-}

$i_-\to(i+1)_-$

i = 0, \dots, n - 3

$i=0,\dots,n-3$

(n - 2)_{+} \to (n - 1)_{+}^{j}

$(n-2)_+\to(n-1)_+^j$

(n - 2)_{-} \to (n - 1)_{-}^{j}

$(n-2)_-\to(n-1)_-^j$

j = 0, \dots, 3

$j=0,\dots,3$

(n - 1)_{+}^{0} \to 0_{-}

$(n-1)_+^0\to0_-$

(n - 1)_{-}^{0} \to 0_{+}

$(n-1)_-^0\to0_+$

(n - 1)_{+}^{j} \to 1_{+}

$(n-1)_+^j\to1_+$

(n - 1)_{+}^{j} \to 2_{-}

$(n-1)_+^j\to2_-$

(n - 1)_{-}^{j} \to 1_{-}

$(n-1)_-^j\to1_-$

(n - 1)_{-}^{j} \to 2_{+}

$(n-1)_-^j\to2_+$

j = 0, \dots, 3

$j=0,\dots,3$ 。

参照：

[1] A.Schönhage、多項式の根分離の例、Journal of Symbolic Computation 41（2006）、いいえ。10、pp。1080–1090、doi：10.1016 / j.jsc.2006.06.003。

[2] M.ミグノッテ、いくつかの有用な境界、in：Buchberger、Collins、Loos（eds。）、Computer Algebra：Symbolic and Algebraic Computation、2 ed。、Springer-Verlag、1983、pp。259–263、doi：10.1007 / 978-3-7091-7551-4_16。

— エミール・イェジャベク
ソース

また、は重要な場合は強く結び付けられています。

G_{1}

$G_1$

— EmilJeřábek16年

ありがとうございました。これは非常に有益です。これは厳密には有向グラフではなく、任意の重みを持つ重み付きグラフです。それで、それは上記の一般化に答えます、正しいですか？確かに、任意の重み（たとえば、2 ^ {-n}の重みの自己ループを持つ単一の頂点）を許可すると、任意の小さな固有値を持つグラフを簡単に作成できますが、予想は、たとえ指数関数的に小さな固有値でも取得できるかどうかをキャプチャしようとします。 {0,1}要素。それでも、これをO（1）の重みで表示することは、進歩と見なされます。

— Lior Eldar 2016年

あなたは要点を逃した。は加重グラフではありません。完全に正常な有向グラフです。

G_{1}

$G_1$

— EmilJeřábek16年

確認のスペクトラムことを確認する最も簡単な方法は何であるのそれに含まれている？

G_{1}

$G_1$

G_{0}

$G_0$

— Lior Eldar 2016年

それは合理的に可能だとは思いません。特性多項式は常に多重度を持つ根を持つため、通常の状況では、グラフを拡大すると新しい固有値が作成されます。頂点の数を同じままにするか、新しいグラフの文字ポリゴンを元の文字ポリゴンの累乗にする、重み付けされたグラフから重み付けされていないグラフへの固有値保持変換を想像することはできません。

n

$n$

— EmilJeřábek16年

境界はグラフの特定の接続構造に強く依存すると思います。

一例は、長さ一方向サイクルです。正しい順序では、であることを確認することは難しくありませんしたがって、固有値はすべて1の番目の根、つまり、はから。 $N$ $A(G)^N - I = 0$ $N$ $e^{2\pi i n/N}$ $n$ $0$ $N-1$

であっても、純粋に虚数の固有値およびが保証され。 $N$ $i$ $-i$

一方、Wolframalphaに行って、サイズ4の完全なグラフを接続し、1つのエッジを削除しました。結果のグラフは、純粋に実際の固有値を持ちます（対称隣接行列がないにもかかわらず、そうです、それは起こり得ます）。これは、一般的な発言がないことを教えてくれます。

— ラガーバー
ソース

ありがとうございました。これは重要な例です。実際、4つの頂点の非常にまばらな非対称グラフでも実際のスペクトルがあるようです：頂点v1、v2、v3、v4を考慮してください： viとv_ {i + 1}の間に双方向のエッジがあるおよびからへの単一の有向エッジ。おそらく、誘導された有向グラフが本質的に無向であるサブグラフがある場合、固有値のコンテキストでそのサブグラフを「契約」することができます。とにかく、私はこの例を含むように推測を修正しました。

i \in {1, 2, 3}

$i\in \{1,2,3\}$

v_{4}

$v_4$

v_{1}

$v_1$

— Lior Eldar 2016年