一般的なLPソルバーを使用せずに、すべての係数が1である厳密な線形不等式のシステムを効率的に解きますか？

タイトルごとに、汎用LPソルバーを使用する以外に、不等式がの形式を持つ変数で不等式のシステムを解くためのアプローチがあります？のべき集合のメンバーの合計に対して全順序を形成する不等式の特別な場合はどうですか？ $x_i, \ldots, x_k$ $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$ $\{x_i, \ldots, x_k\}$

ds.algorithms linear-algebra linear-programming

— ジョンデリー
ソース

@Ankur：整数か実数かは関係ありません。これらが厳密な不等式である場合は、それらを有理数に四捨五入してから、最小公分母を掛けて整数の解を得ることができます。

— Peter Shor、2012年

30分で何をコーディングできるかわかりません（どの言語で）。それが「シンプル」の基準である場合、これは本当に理論的なコンピュータサイエンスの問題なのでしょうか。

— 伊藤剛

良い点ピーターショール。ジョンデリー、私は私の声明を取り戻します。私は、これらの厳密な不等式を満たす組み合わせ問題と、円錐の内部点を見つける凸分析問題は、質的に区別できると考えていました。私は間違っていた。

— アンクル

@Tsuyoshi：ささいなことである必要はありませんが、完全なLPソルバーの追加のパワーをすべて使用せずに、特に注文がある特殊な場合に、これを第一原理から実行できるかどうか知りたいです。すべてのサブセットの合計（この場合、多項式時間は変数の数の指数関数であることに注意してください）。

— ジョンデリー

次に、「この問題は、線形計画法の一般的なアルゴリズムを使用しなくても効率的に解決できるのか」あなたの質問をよりよく定式化する良い方法です。

— 伊藤剛

最初の質問の場合、完全な順序がなければ、質問への答えは本質的に線形計画法と同じくらい難しいということです。証明の概要は次のとおりです。

まずは、変数を確立させ我々が呼ぶ、。次に、別の変数選択します。これをと呼びます。私たちは、それを確認するに $x_1>0$ $\epsilon$ $x_i$ $1$ これを行うには、不等式を考慮します。十分に長いチェーンを使用すると、非常に大きな場合、またはであることがわかります（はフィボナッチ数であり、指数関数的に増加します）。

ϵ ≪ 1 .

$\epsilon \ll 1\, .$

x_{1} < x_{2},

$x_1 < x_2,$

x_{1} + x_{2} < x_{3},

$x_1 + x_2 < x_3,$

x_{2} + x_{3} < x_{4},

$x_2+x_3 < x_4,$

N x_{1} < x_{i}

$Nx_1 < x_i$

ϵ < 1 / N

$\epsilon < 1/N$

N

$N$

N

$N$

i

$i$

$x_t$

x_{t} < x_{t^{'}} < x_{t^{″}} < x_{t} + ϵ

$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$

x_{t} + x_{t^{'}} + x_{t^{″}}

$x_t + x_{t'} + x_{t''}$

x_{t}

$x_t$

x_{u} \approx 2 x_{t}

$x_u \approx 2x_t$

x_{v} \approx 2 x_{u}

$x_v \approx 2x_u$

x_{i} = 1

$x_i = 1$ 。この手法では、OPの形式の線形プログラムを使用して、整数係数を使用した任意の線形プログラムの実行可能性をほぼチェックします。これは、基本的に線形プログラミングと同じくらい難しいタスクです。

2番目の質問を分析する方法がわかりません。すべてのサブセットに合計順序がある場合について尋ねます。

— ピーター・ショー
ソース