UPB（拡張不可能な製品ベース）の多項式アルゴリズム

ヒルベルト空間考える。Unextendable Product Basis（UPB）は、製品ベクトルのセットです。V I ⟩ = | V 1 I ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | V nは私 ⟩ように：$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

a）すべて互いに直交しています$\vert v_i \rangle$

b）すべてに直交する積ベクトルがない$\vert v_i \rangle$

c）基底は自明ではない、つまりHにまたがらない$H$

（そのような塩基は量子情報に関心があります）

質問：

1. UPBを見つけるための多項式アルゴリズム（単位）はありますか？（一般に、UPBのサイズには上限がないので、アプリオリでは、nで指数関数になる可能性があることに注意してください）$n$$n$

2. 特定の製品ベースがUPBかどうかをチェックするための多項式アルゴリズムはありますか？（つまり、拡張できません）

または、問題はNP完全ですか？

$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$$n\geq 3$$n=2$$\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$

質問（2）の場合、質問は、基底が張られた空間の補数である部分空間にテンソル積状態があるかどうかを確認することと同じです。Leonid Gurvitsは、一般的な部分空間にテンソル積の状態が含まれているかどうかのチェックがNP困難であることを示したので、この場合も困難であると思います。

完全な分類は、別の単純なケース3x3でも知られています。これは、最初にペーパーhttp://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030で扱われます。

結果は、ランク4の任意の3x3 PPTエンタングル状態の構築にも関連しています。論文を見る

http://arxiv.org/abs/1105.3142。