多面体を均等に分割する切断平面を見つける

標準の形の多面体があるとしましょう：

\begin{aligned} A x = b \\ x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$

超平面の各辺の頂点の数がほぼ同じになるように多面体を分割する超平面を見つける既知の方法はありますか？（つまり、分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差を最小化するアルゴリズム）。 $\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

また、この問題の複雑さに関する既知の結果はありますか？

補遺：カットの種類の制限：

これは元の問題のバリエーションで、元の問題よりも簡単に解決できることを期待しています。

の形式の超平面である座標が分割の両側の頂点カーディナリティの絶対差が最も低くなるのを効率的に計算または推定する方法はありますか？効率的とは、可能なすべての分割について、頂点のカーディナリティをすべて列挙するよりも効率的なことを意味します。 $i$ $d_ix_i + d_0 = 0$

注：数日間の少しの進歩の後、私はこの質問をMathOverflowにも投稿しました。

ds.algorithms linear-programming linear-algebra

— Amelio Vazquez-Reina
ソース

これがNP困難な問題であることを証明できるべきではないでしょうか？

— Peter Shor

@Peterに感謝します。証明は素晴らしいでしょう。そうは言っても、問題は難しいと思います。私は、ヒューリスティックまたは近似アルゴリズムにもっと興味があると思います。カットのタイプを制限するという考えの背後にある動機は、解決策または近似アルゴリズムをすでに知っている一般的な問題の簡単なバリエーションがあるかどうかを確認することでした。

— Amelio Vazquez-Reina

これらの線に沿って何か（それが機能するかどうかはわかりません）-最大二部一致の数を数えることは#P困難であることがわかっています。また、最大の2部マッチングを見つけるための線形プログラムは完全にユニモジュラーであり、したがって、任意のコーナーポイント/基本的な実行可能なソリューションは不可欠です。最大の二部マッチング問題については、マッチングの値を見つけます。すべてのソリューションが最適な値を持たなければならないという制約を持つ線形プログラムを作成します。次に、すべてのコーナーポイントが一致します。均等に繰り返し分割できることは、一致の数を数えることができることを意味します。

— オプションの

気にしないで。また、切断面によって追加された頂点の数をカウントできる必要があります。

— オプト

-2

これを行う分析方法を思い出せません！

しかし、これは遺伝的プログラミングの古典的な問題です！慣れている場合は、切断面を表す多面体の中心にある正規化されたベクトルを使用できます。

したがって、母集団は[x、y、z、...]正規化ベクトルのセットであり、フィッティング関数として2つの分割ボリュームの差を使用します。

したがって、差がゼロになる傾向がある場合は、「フィット」がベクトル/平面になります。

— エドゥアルドポンス
ソース

申し訳ありませんが、遺伝子プログラミング言語を使用せずに、もう一度言っていただけますか？「人口」とは何ですか？「フィッティング機能」とは？

— ジェフ