アフィン関係の推移的閉包

次の意味で、アフィン関係の推移閉包の計算に関する研究を探しています。

レッツ実際の変数を超える線形不等式のシステムで定義された関係も、つまり $R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ $x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n$

$R(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ iff $A x_1\dots x_n x'_1\dots x'_n \leq b$

ここで、は行列で、はベクトルです。 $A$ $m\times 2n$ $b$ $m$

記号表現を探しています。 $R^k$

$R^k(x_1,\dots,x_n,x'_1,\dots,x'_n)$ が存在するときに限りようにおよび。 $y_1,\dots,y_n$ $R^{k-1}(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n)$ $R(y_1,\dots,y_n,x'_1,\dots,x'_n)$

非常に簡単な例として、

$R(x,x')$ iffおよび $x'\leq x+1$ $x'\geq \frac{1}{2} x$

この場合、 iffおよび $R^k(x,x')$ $x'\leq x+k$ $x'\geq \frac{1}{2^k} x$

すべての制約が等式である簡単な特殊なケースがあります。次に、ガウスの消去法を適用して、を（依存する）マップし、その乗を計算するアフィン変換を見つけます。しかし、もちろん一般的に、は機能しません。 $x_i$ $x'_j$ $k$ $R$

この問題は、~~が開いたポリトープ~~ と凸面の円錐を表すときにも簡単に見えますが、私はこれを仮定することはできません。 $R$

編集：（おもちゃの例のように）の具体的な値に依存しないパラメトリックフォームを探しています。与えられた値、表現は常にとから変数除去によって得られます。 $k$ $k$ $R^k$ $R^{k-1}$ $R$

ds.algorithms linear-algebra matrices

— わらかわ
ソース

（1）「推移閉包」は、R∪R^2∪R^3∪…のようなものを探しているように聞こえますが、これは事実ではなく、R ^のH表現を探していると思います。与えられたkに対するk。私は正しいですか？（2）私の知らないために申し訳ありませんが、オープンポリトープとは何ですか？

— 伊藤剛

与えられたkに対してR ^ kのH表現を探していると仮定すると、少なくとも非効率的なアルゴリズムがあります。簡単にするためにk = 2と仮定します（一般的なkは同じ方法で処理できます）。P = {（x、x '）| R（x、x'）}を関係Rに対応する多面体とし、デカルト積P×P = {（x、x '、y、y'）|を考えます。 R（x、x ′）∧R（y、y′）}。ＰのＨ表現が与えられているので、Ｐ×ＰのＨ表現がある。方程式x '= yを追加し、フーリエ-モツキン消去法によって変数x'およびyを射影します（これは非効率的です）。次に、関係R ^ 2のH表現を取得します。

— 伊藤剛

剛さんありがとうございます。確かにこれも私の最初のアイデアでした。これにより、任意のkに対してSLI（線形不等式のシステム）が得られます。kの実際の値に依存しないパラメトリック形式を探しています。

— わらかわ

面白い。コメントを読まずにkの値とは関係なくパラメトリック形式を探していることを人々が理解できるように、質問を編集する方が良いと思います。

— 伊藤剛

が行列の乗算ために生成したモノイドが有限である場合の回答：Alain FinkelおよびJérômeLeroux 、How to Compose Presburger-accelerations：Applications to Broadcast Protocols、FSTTCS 2002（Software Technology and Theoretical Computer Science）の講義ノートScience 2556、pages 145--156、DOI：10.1007 / 3-540-36206-1_14、2002（そこにある多くの参考文献も参照）。関係は、効果的に計算可能なプレスブルガーの式で表されます。 $A$ $R^k$

推移的閉包の実際の計算に関する最近の参考文献は、Marius Bozga、Radu Iosif、およびFilipKonečnFast、Fast Acceleration of Ultimately Periodic Relations、CAV 2010（Computer Aided Verification）、Lecture Notes in Computer Science 6174、pages 227です。 242、DOI：10.1007 / 978-3-642-14295-6_23、2010。

— シルヴァン
ソース