ユニタリ演算子のエントリを実数とユニバーサルゲートセットに制限する

Bernstein and Vaziraniの独創的な論文「Quantum Complexity Theory」では、次元ユニタリー変換が、「自明な回転」と「自明な位相シフト」と呼ばれるものの積によって効率的に近似できることを示しています。$d$

「自明な回転」とは、2次元以外のすべての単位として機能する次元のユニタリ行列ですが、これら2つの次元が広がる平面内の回転として機能します（つまり、次の形式の2x2サブ行列があります：$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

いくつかのために）。$\theta$

「ほぼ自明な位相シフト」は、1次元以外のすべての単位として機能する次元のユニタリ行列ですが、一部のに対してその1次元の係数を適用します。$d$$e^{i\theta}$$\theta$

さらに、角度が非合理的な倍数である場合（BVが角度を設定すると）、（回転ユニタリーと位相シフトユニタリーの両方に）必要な回転角度は1つだけであることを示します。$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

（Adleman et alまたはFortnow and Rogersによるような）量子複雑性理論に関する後続の論文では、BVの結果は、普遍的な量子計算がユニタリー演算子で実行できることを示唆していると主張しています。$\mathbb{R}$

これはどのように続きますか？自明な回転行列の積は、実際のエントリを持つユニタリ行列を与えることを理解できますが、位相シフト行列はどうですか？

つまり、自明な回転と、行列のエントリが0、\ pm 1のいずれかである位相シフト行列しか実行できない場合$0,\pm 1$、他のすべての位相シフト行列を効率的に近似できますか？

この含意はすぐには明らかではないのではないかと思います。それに対する適切な証拠は、ドイツのトッフォリのような門が普遍的であるという証拠に似ているでしょうか？

Dorit AharonovによるToffoliとHadamardがQuantum Universalであるという簡単な証明があります。これは、1つのキュービットを持つより大きなヒルベルト空間で実際の振幅によって複雑な振幅をシミュレートする方法を最初に示します。

「これは、回路に1つの追加のキュービットを追加します。その状態は、システムの状態がヒルベルト空間の実数部または虚数部のどちらにあるかを示し、kキュビットで動作する各複素ゲートをその実数バージョンで置き換え 、 〜U同じで動作し、k個。量子ビットの量子ビットプラス余分〜Uがで定義されます。$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

〜U | 私⟩| 1⟩=-[IのM（U）| 私⟩]| 0⟩+$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
"$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

第二に、彼女は、実際の振幅は{アダマール、トホリ}ゲート組の普遍プルーフ。$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Martinが指摘した論文に加えて、Terry RudolphとLov Groverによる以前の論文では、2リビットゲートが量子計算に普遍的であることを示していました（quant-ph / 0210187を参照）。ゲートにはすべての実際の入力があります。知らない場合、リビットはキュービットで、振幅は実数に制限されています。これがクレームの原因である可能性があります。この論文で説明されている問題のゲートは、制御されたY回転です。

このような制御されたYゲートは、次のようにY回転と制御されたZゲートから作成できることに注意してください$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$