一般的な位置でのベクトルの構築

本当ましょう（）行列の任意のコレクションという特性を持つ列がフルランクであるが。 $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

Q：拡張マトリックスようなベクトルを決定論的に見つける効率的な方法はありますか ${\bf a}$ はと同じプロパティを保持します列はフルランクです。 ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ ${\bf A}$ $k$

関連する補足事項：このプロパティを持つマトリックスは、 $(n,k)$ リードソロモンコードのジェネレーターです。Vandermonde構造を保持する列を追加すると、ランクプロパティが保持されます。

— ディミトリス
ソース

あなたの主張を理解しているかどうかわかりません。私が必要と

k \leq n

$k\le n$ 、

k = n

$k=n$ 問題ではありません。

— ディミトリス

@Jɛﬀ E kは変化しません。k= nの場合、（現在の）n + 1列のnのみがフルランクである必要があります。この場合、問題は簡単であるはずです。R^ nの直交基底への行列のアフィン変換を見つけ、その下の画像がすべて1のベクトルであるベクトルとします。

— Suresh Venkat

これは、グラスマニアンを介してこれを行う方法であるように思えますが、どのように見えるかはわかりません。

— Suresh Venkat

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

いい質問です。制限されたアイソメトリプロパティを検証する問題の弱いバージョンのように聞こえます。

— サショニコロフ

$\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— ジェフス
ソース

私は同意するしかありません:)。問題は、そのようなベクトルが機能するかどうかを確認するときに発生します（機能するかどうかは関係ありません）。列のサブセットを確認する必要があります。このチェックの問題は、（固定順序の）有限フィールドを考慮するとより関連性が高くなりますが、私はそれらについて語らないようにしました。

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— ディミトリス

この質問は、特に効率的な決定論的アルゴリズムを求めています。関連する何かに答えても質問に記載されている条件を満たさない場合は、私の意見で明確にそう言うべきです。

— 伊藤剛

@TtsuyoshiItoなに、あなたは子猫が嫌いですか？:)

— Suresh Venkat

@Suresh：実際には、私のコンピューターが突然子猫になったら面白いでしょう。ただし、理論的には、最初に子猫を定義する必要があります。

— 伊藤剛

@Jɛﬀ Eたぶん、なぜこの質問に興味があるのかを明確にすべきだった。本当の問題は同じですが、有限体の上にありますが、私は体が線形代数の問題を複雑にすると考えがちです。アプリケーションは、「適切な」コード生成行列の設計です。ランダムなもの（iidエントリ）は、Schwartz–Zippel補題などのツールを使用して、プロパティwhpを満たすように表示できます。この問題の場合、SZは通常フィールド次数を必要とし、行列が実際に機能するかどうかを効率的に確認することはできません。何でこれが大切ですか？おそらく信頼できるコードは優先されない場合があるためです。

O (2^{k})

$O(2^k)$

— ディミトリス