アルゴリズムベクトル問題

フィールドGF（2）のベクトルに関連する代数的問題があります。ましょう寸法の（0,1）-vectorsことN、およびM = N O （1 ）。uがv 1、v 2、… 、vの中の任意の（log n ）O （1 ）ベクトルの合計ではないような、同じ次元の（0,1）ベクトルuを見つける多項式時間アルゴリズムを見つける$v_1, v_2, \ldots, v_m$$n$$m=n^{O(1)}$$u$$u$$(\log n)^{O(1)}$。ベクトルの追加は、GF（2）の2つの要素0と1（ 0 + 1 = 0 + 1 = 1、および 0 + 0 = 1 + 1 = 0）を持つ2つの要素を持ちます。$v_1,v_2, \ldots, v_m$$0+1=0+1=1$$0+0=1+1=0$

このようなベクトルuの存在は、単純なカウント引数によって簡単にわかります。多項式時間でを見つけることができますか？指数時間でuを見つけるのは簡単です。最初の正しい解決策に対して200ドルの小切手賞を送付します。$u$$u$

タイプミスがあるようです。私はあなたが見つけることを意味すると仮定の和されていない（ログnは）O （1 ）のうち、ベクトルV 1、... 、VのM（ないN）。$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$v_1,\dots, v_m$$n$

定数があなたのために働くかどうかは私には明らかではありません。log m未満のベクトルの和に落ち着くことができれば、何かすることがあります。しかし、この量を（log m ）1 + δにしたい場合、それはかなり難しいと思います（私は長い間この問題に取り組んできました）。$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$(\log m)^{1+\delta}$

それでも、これは特定のパラメーターに対するAlon、PanigrahyおよびYekhaninのリモートポイント問題（「最も近いコードワード問題の決定論的近似アルゴリズム」）のインスタンスであることを知りたいと思うかもしれません。ましょとV 1、... 、Vのmはリニア符号のパリティ検査行列の列である{ 0 、1 } M次元のD = M - N（この行列はフルランクを持っていなかった場合、問題は些細なことです）。次に、あなたの問題は見つけることと等価であるのu ∈ { 0 $m > n$$v_1,\dots,v_m$$\{0,1\}^m$$d = m - n$つまり（log n ）O （1 ） -コードから遠い。寸法がmに非常に近いパラメータのこの設定は、論文では研究されていません。ただし、それらは、ある定数 cに対して次元 d = c mまでのリモート性ログmしか実現できません。実際、あるベクトルが ω （log m ） -次元 Ω （m ）の空間から遠いことを証明できる多項式サイズの証明書を知っているとは思わない$u \in \{0,1\}^n$$(\log n)^{O(1)}$$\log m$$d = cm$$c$$\omega(\log m)$$\Omega(m)$、もちろんそれを見つけます。

もう1つの関係は、ミスバウンドモデルのパリティを学習することです。一つは効率的に学ぶことができる場合 -parities（上で定義0 、1 m個厳密未満結合ミス付き）nは、その後一方が最初に任意の値を設定することができ、N - 1つのビットUと``力学習者によって予測された値と反対の値に設定することにより、最後のビットに誤りがあります。しかし、これははるかに強いようです。$(\log n)^{O(1)}$${0,1}^m$$n$$n - 1$$u$

この問題は、EXPをスパースセットへの特定の縮約から分離することにも関連しています。