バイナリーベクター

Iは設定されているのバイナリベクトルS = { S 1、... 、sはN } ⊆ { 0 、1 } K ∖ { 1 、K }とターゲットベクトルT = 1 Kすべてのもののベクトルです。$n$$S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}$$t = 1^k$

推測：場合の要素の線形結合として書くことができるS上Z / QのZすべてに対するプライムパワーのQは、Tは、の線形結合として書くことができるS上Z、すなわち、整数係数を有する線形結合が存在しますこれはZ上のtになります。$t$$S$$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ $q$$t$$S$$\mathbb{Z}$$t$$\mathbb{Z}$

これは本当ですか？それは誰にも馴染みがありますか？このトピックに関する文献を検索する際にどのキーワードを使用すればよいかわからないため、ご意見をお待ちしています。

逆は確かに成立することを確認します。if 整数の私は、同じ和のmodの評価Qを任意のモジュラスのためにqがまだ平等を与えます。したがって、整数係数との線形結合は、すべての係数の線形結合の存在を意味します。$t = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_i$$a_i$$q$$q$

編集14-12-2017：最初は予想が強かったため、tがすべての素数qに対するmod qの線形結合である場合は常に上の線形結合の存在を主張しました。これは、私のアルゴリズムのアプリケーションで悪用する方が簡単でしたが、間違っていることが判明しました。これは反例です。s 1、… 、s nは、次の行列の行で与えられます。$\mathbb{Z}$$t$$q$$q$$s_1, \ldots, s_n$

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Mathematicaはベクターことが確認されこれらのベクトルMODのスパンであり、Q Iは、これがすべての素数の場合であることを十分な証拠として取る最初の1000個の素数のため。しかし、オーバー組み合わせ線形ない整数がないZは、上記マトリックスがオーバーフルランク有するRと書き込みに独自の方法（1 、1 、1 、1 、1 、1 ）の線形結合として$t = (1,1,1,1,1,1)$$q$$\mathbb{Z}$$\mathbb{R}$$(1,1,1,1,1,1)$の上に Rを係数使用される（1 / 2 、1 / 2 、1 / 2 、- 1 / 2 、- 1 / 2 、1 / 2 ）。（ただし、これらのベクトルmod 4の線形結合として tを書くことはできません。したがって、推測の更新された形式と矛盾しません。）$(s_1, \ldots, s_6)$$\mathbb{R}$$(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, -1/2, 1/2)$$t$$4$

修正された予想は、およびtの緩和された制約下でも真です。これらは、任意の整数ベクトルである可能性があります（セットSが有限である限り）。Sからベクトルを行列に配置する場合 、整数の線形システムS x = tの可解性について質問するだけな ので、以下のように問題を定式化することに注意してください。$S$$t$$S$$S$

命題：レッツとT ∈ Zの K。線形システムS X = Tはで解決可能であるZ場合、それはで解決可能である場合にのみ、Z / QのZすべてのプライムパワーのためにQ。$S\in\mathbb Z^{k\times n}$$t\in\mathbb Z^k$$Sx=t$$\mathbb Z$$\mathbb Z/q\mathbb Z$$q$

これは少なくとも2つの方法で証明できます。

証明1：

任意の素数について、各p mを法とするシステムの可解性は、p進整数Z pの環で可解であることを意味します。（解が一意ではないという小さな問題があります。したがって、与えられた解mod p mとmod p m ′は互換である必要はありません。これは、Z pのコンパクトさを使用して、またはケーニッヒの補題を使用して整理できます。）$p$$p^m$$p$ $\mathbb Z_p$$p^m$$p^{m'}$$\mathbb Z_p$

したがって、システムは、製品にも解決可能である Z = Π P  素数 Zは P、 すなわちの環profinite整数。これはZにおけるその可解性を意味すると主張します。

お知らせそのシステムの可解性（すなわち、）はアーベル群の言語で（原始正）1次文として表現でき、 tを定義できるように定数 1で増補されます。これで、構造（Z、+ 、1 ）の完全な1次理論が次のように公理化できることを確認できます（これは、Presburgerの算術、または Zグループの理論の無秩序バージョンです）。$\exists x\,Sx=t$$1$$t$$(\mathbb Z,+,1)$$\mathbb Z$

1. ねじれのないアーベル群の理論、

2. 公理の各素数のためのp、$\forall x\,px\ne1$$p$

3. 公理$\forall x\,\exists y\,(x=py\lor x=py+1\lor\dots\lor x=py+(p-1))$$p$

$\hat{\mathbb Z}$$(\mathbb Z,+,1)$$(\hat{\mathbb Z},+,1)$$Sx=t$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

$(\mathbb Z,+,1)$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$$\hat{\mathbb Z}$$\mathbb Z$

証明2：

$M\in\mathrm{GL}(k,\mathbb Z)$$N\in\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$$S'=MSN$$t'=Mt$$x$$Sx=t$$x'=N^{-1}x$$S'x'=t'$$x'$$S'x'=t'$$x=Nx'$$Sx=t$$M,M^{-1},N,N^{-1}$

$S$$k\ne n$$Sx=t$$\mathbb Z$

1. $s_{ii}$$S$$t_i$$t$$s_{ii}$

2. $i$$i$$S$$t_i\ne0$

$q$$q\nmid t_i$$q\mid s_{ii}$$Sx=t$$\mathbb Z/q\mathbb Z$