タグ付けされた質問 「polynomials」

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TCSのグレブナーベース？
誰もがグレブナー基底の理論的計算機科学への興味深い応用を知っていますか？ グレブナー基底は、一般にNP困難な問題である多変量多項式を解くために使用されます。TCSまたはTCS関連分野（組み合わせ論、コーディング理論）で効率的なアルゴリズム/構築/証明を提供するために、扱いやすい特別なケースが使用されているかどうか疑問に思っていました。
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次数1のn多項式の乗算
問題は、多項式を計算することです。すべての係数が機械語に適合する、つまり単位時間で操作できると仮定します。（a1x + b1）× ⋯ × （anx + bn）(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n) ツリー形式でFFTを適用することにより、時間を実行できます。O （n log n ）はできますか？O （n ログ2n ）O(nlog2⁡n)O(n \log^2 n)O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)
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複雑さの結果の多項式法
多項式法は、コンビナトリアルヌルステルレンサッツとシュヴァレー-警告の定理は、加算的組み合わせ論の強力なツールであると言います。問題を適切な多項式で表すことにより、解の存在、または多項式の解の数を保証できます。それらは、制限された和集合やゼロサム問題などの問題を解決するために使用されてきました。 私にとって、これらのメソッドの非構築的な方法は本当に驚くべきものであり、これらのメソッドを適用して、複雑なクラスの興味深い包含および分離を証明する方法に興味があります（結果が他のメソッドで解決できる場合でも）。 多項式法で証明できる複雑な結果はありますか？
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近似度
編集（v2）：問題について知っていることに関するセクションを最後に追加しました。 編集（v3）：最後にしきい値の程度に関する説明を追加しました。 質問 この質問は主に参照リクエストです。私は問題についてあまり知りません。この問題に関する以前の研究があるかどうか知りたいのですが、もしそうなら、誰かがこの問題について話している論文を教えてくれますか？また、の近似次数の現在の最適な境界を知りたいです。他の情報（たとえば、履歴情報、動機、他の問題との関係など）も高く評価されます。AC0AC0\textrm{AC}^0 定義 してみましょうなるブール関数。してみましょう変数上の多項式ことに実係数で。多項式の次数は、すべての単項式の最大次数です。単項式の次数は、その単項式に現れるさまざまな指数の合計です。たとえば、です。、P 、X 1 、X N 、X I 度（X 7 1 X 2 3）= 9f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}pppx1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 すべてのについて場合、多項式は -approximateと呼ばれます。ブール関数の近似次数は、として表され、 -approximate多項式の最小次数です。関数のセットについて、、最小の次数である内のすべての関数ようにすることができϵ f | f （x ）− p （x ）| &lt; ε X ε F 〜度 ε（F ）ε F F 〜度 ε（F ）D F εpppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg〜ϵ（f）deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg〜ϵ（F）deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilon高々度の多項式で-approximatedddd。 すべての関数は次数多項式でエラーなしで表現できることに注意してください。一部の関数には実際に次数が必要ですnnnnnnn、定数誤差に近似するために多項式です。パリティはそのような関数の例です。 …
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多項式でORを表す
私は、変数のOR関数が、多項式で次のように正確に表現できることを知っています： 、次数です。nnnx1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_np(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)nnn しかし、がOR関数を正確に表す多項式である場合（つまり、）、次に？ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n
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O（n log n）時間で二乗したスパース多項式の合計を計算しますか？
次数が最大、多項式あり、非ゼロ係数の総数があると仮定し（つまり、多項式はスパースです）。多項式を計算するための効率的なアルゴリズムに興味があります。 n n &gt; m np1、。。。、pmp1,...,pmp_1,...,p_mnnnn &gt; mn&gt;mn>mnnn ∑私p私（x ）2∑ipi(x)2\sum_i p_i(x)^2 この多項式の次数は最大、入力サイズと出力サイズの両方がです。の場合、時間 FFTを使用して結果を計算でき。これは任意のに対して実行できますか？何らかの違いがある場合、係数が0と1である特別なケースに興味があり、整数に対して計算を行う必要があります。O （n ）m = 1 O （n log n ）m &lt; n2 n2n2nO （n ）O(n)O(n)m = 1m=1m=1O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)m &lt; nm&lt;nm<n 更新。上記の高速な解決策は、高速行列乗算の進歩を意味することを理解しました。特に、場合、の係数としてで。したがって、計算は2つのベクトルの外積の計算に対応し、和計算は行列積の計算に対応します。計算に時間を使用する解がある場合、時間つの行列の行列を乗算できます。 a i k b k j x i + n j p k（x …
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GF（2）上の低次のランダム多項式のバイアスは何ですか？
ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon *次数およびn変数でランダム多項式を書くとき、確率1/2で選択された合計次数の各単項式を考えることができます。≤ D≤d≤d\le d≤d≤d\le d 私が知っている唯一の関連するものは、多項式が非定数である場合、そのバイアスは最大でと述べるSchwartz-Zippelのバリアントです。したがって、ため probaiblityである正確に1 / {2 ^ {{N \ 1を選択} + \ ldots + {N \ Dを選択}}}ここで、これは確率であるP1−21−d1−21−d1-2^{1-d}ϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d}1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}pppは定数。残念ながら、このは非常に大きいです。ϵϵ\epsilon
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演算回路の多重線形化を評価していますか？
ましょうフィールド上係数を有する多変量多項式であるF。multilinearization Pで示さ、pは、繰り返し各交換の結果であり、xはdはIを用いて、D &gt; 1によってX I。結果は明らかに多重線形多項式です。p(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)FFFpppp^p^\hat{p}xdixidx_i^dd&gt;1d&gt;1d > 1xixix_i 次のような問題を考える：演算回路所与にわたってFと指定されたフィールド要素1、... 、nは、計算C（1、... 、N）。C(x1,…,xn)C(x1,…,xn)C(x_1,\ldots,x_n)FFFa1,…,ana1,…,ana_1,\ldots,a_nC^(a1,…,an)C^(a1,…,an)\hat{C}(a_1,\ldots,a_n) 質問：フィールド演算は単位時間で実行できると想定していますが、これに多項式時間アルゴリズムはありますか？あとで追加：が実際に式（ファンアウト1の回路）である特別なケースにも興味があります。CCC111
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超対数回路の複雑さの下限を持つ1変数の明示的多項式？
引数を数えることにより、1変数に次数nの多項式（つまり、が存在し、回路の複雑度がnであることを示すことができます。また、x nのような多項式には少なくともlog 2 nの乗算が必要であることを示すことができます（十分に高い次数を得るために必要です）。複雑さの超対数下限を持つ1変数の多項式の明示的な例はありますか？（任意のフィールドでの結果は興味深いでしょう）anxn+an−1xn−1+⋯+a0)anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)xnxnx^nlog2nlog2⁡n\log_2 n
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動的に更新される入力での多項式の値の維持
ましょう、固定有限体上の多項式です。我々は、の値を与えられていると仮定PいくつかのベクトルにY ∈ { 0 、1 } nは、ベクトルyは。P(x1,x2,…,xn)P(x1,x2,…,xn)P(x_1, x_2, \ldots, x_n)PPPy∈{0,1}ny∈{0,1}ny \in \{0,1\}^nyyy 現在の値を計算するベクトルにY ' ∈ { 0 、1 } Nように、Y及びYが'（換言すれば、我々は正確に1つのビットを反転正確に一つの位置に異なるY）。この問題の空間と時間のトレードオフは何ですか？PPPy′∈{0,1}ny′∈{0,1}ny' \in \{0,1\}^nyyyy′y′y'yyy たとえば、がPの単項式の数である場合、係数とPのすべての単項式の値を格納できます。y iが反転している場合、格納されている情報を使用して、y iを含む各単項式の値を固定し、次にP （y ）の値を固定します。全体として、O （r ）の時間と空間が必要です。rrrPPPPPPyiyiy_iyiyiy_iP(y)P(y)P(y)O(r)O(r)O(r) （私は目的のためにを含む単項式をどのように識別するかについては何も言いません。Pの合理的な表現を選択できます。この例では、各iについてy iを含む単項式のリストを格納すると想定しています。）yiyiy_iPPPyiyiy_iiii もっと良いものはありますか？
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対称多項式の評価
ましょうである対称の多項式、すなわち、多項式のように、F （X ）= F （σ （X ））のすべてのためのx ∈ K、N及びすべての順列σ ∈ S N。便宜上、計算モデルの問題に対処することを避けるために、Kは有限体であると想定できます。f:Kn→Kf：Kん→Kf:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}f(x)=f(σ(x))f（バツ）=f（σ（バツ））f(x)=f(\sigma(x))x∈Knバツ∈Kんx \in \mathbb{K}^nσ∈Snσ∈Sん\sigma \in S_nKK\mathbb{K} LET 計算の複雑示すFを、即ち、所与、そのアルゴリズムの複雑度Xを、戻りF （X ）。我々は何とか特徴づけることができますC （Fを）の性質に基づいて、F？たとえば、C （f ）がすべての対称多項式fの多項式（n単位）であることは保証されていますか？C(f)C（f）C(f)fffxバツxf(x)f（バツ）f(x)C(f)C（f）C(f)fffC(f)C（f）C(f)nんnfff 特殊なケースとして、（a）時間ポリ（n ）でべき乗多項式を計算でき、（b）ニュートンの恒等式を使用して、時間ポリ（n ）で基本対称多項式を計算できます。場合その結果、fはない変数が高い1（すなわち、場合より乗されていない単項式の加重和であり、Fは多重線形である）、次いで、fは、それが加重和として表すことができるので（多項式時間で計算することができます。基本対称多項式の）。たとえば、K = G F （poly(n)ポリ（ん）\text{poly}(n)poly(n)ポリ（ん）\text{poly}(n)fffffffff、すべての対称多項式を多項式時間で計算できます。これ以上言えることはありますか？K=GF(2)K=GF（2）\mathbb{K}=GF(2)
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多項式同一性テストのランダム化解除について
我々は2つの多項式の推論平等に決定論的アルゴリズムを求める試験多項式同一で。既知の効率的なランダム化アルゴリズムを解読し、効率的な決定論的アルゴリズムを生成することは、重要な未解決の問題です。PITには完全な問題があるので、この1つのクラスの多項式の同一性テストをランダム化すると、この未解決の問題が解決しますか？そうでない場合、この問題が解決される多項式のクラスとそれらが開かれているクラスはありますか？g,h∈Z[x1,…,xn]g,h∈Z[x1,…,xn]g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]
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max / plusリングでの畳み込みの複雑さ
FFTを使用したプラス/乗算多項式のでたたみ込みを実行できます。ただし、このアプローチは、リング一般にはあまり一般化できないようです。max / plusリングのナイーブ畳み込みについて何か進展はありましたか？O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)O(n2)O(n2)O(n^2) べき乗を行うことにより、soft-max / plusをplus / productに変換できることに注意してください。ここに。ソフトマックス（x 、y）= ログ（eバツ+ ey）= max （x 、y）+ ログ（1 + e最小（x 、y）− max （x 、y））ソフトマックス（バツ、y）=ログ⁡（eバツ+ey）=最高（バツ、y）+ログ⁡（1+e分（バツ、y）−最高（バツ、y））\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})
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