GF（2）上の低次のランダム多項式のバイアスは何ですか？

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$p$ $\le d$ $bias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon$

*次数およびn変数でランダム多項式を書くとき、確率1/2で選択された合計次数の各単項式を考えることができます。 $\le d$ $\le d$

私が知っている唯一の関連するものは、多項式が非定数である場合、そのバイアスは最大でと述べるSchwartz-Zippelのバリアントです。したがって、ため probaiblityである正確にここで、これは確率である $1-2^{1-d}$ $\epsilon=1-2^{1-d}$ $1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}$ $p$ は定数。残念ながら、このは非常に大きいです。 $\epsilon$

— アヴィシェイ・タル
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bias（f）のfとは何ですか？

— タイソンウィリアムズ

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Ben-Eliezer、Hod、およびLovettによる論文「ランダムな低次多項式は近似するのが難しい」があなたの質問に答えます。これらは、ランダム多項式のバイアスを分析することにより、次数ランダム多項式と最大で多項式との相関に強い境界を示します。補題2：ランダム次数多項式（で線形であるまで）のバイアスは最大、確率を除きます。 $d$ $d-1$ $d$ $d$ $n$ $2^{-\Omega(n / d)}$ $2^{-\Omega\Big(\binom{n}{\le d}\Big)}$

— デビッド
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@davidこんにちは、あなたの答えはとても役に立ちました。メールで何かお聞きしたいのですが、メッセージを送っていただけますか？

— アヴィシェイタル

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あなたの質問は、リードマラー符号の重み分布のテール境界に相当します。Reed-Mullerコードの重み分布を理解することは、コーディング理論において古くて挑戦的な問題であり、いくつかの興味深い結果が知られています（重み分布は、およびについてのみ完全に理解されます）。出発点としては、Tali Kaufman、Shachar Lovett、Ely Poratによる「リードミュラーコードの重量分布とリストデコードサイズ」、およびその参考文献を参照してください。 $d=1$ $d=2$

— MCH
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