多項式でORを表す

私は、変数のOR関数が、多項式で次のように正確に表現できることを知っています： 、次数です。$n$$x_1,\ldots, x_n$$p(x_1,\ldots,x_n)$$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$$n$

しかし、がOR関数を正確に表す多項式である場合（つまり、）、次に？$p$$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$$\deg(p) \ge n$

ましょうブール関数です。それは多項式表現を持っている場合は、それはマルチリニア多項式表現を持っている度の：ただのパワー置き換える、によって、。そのため、多重線形多項式に注意を向けることができます。$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$P$$Q$$\deg Q \leq \deg P$$x_i^k$$k \geq 2$$x_i$

要求：多項式、関数は空間の基礎を形成するすべての機能の。$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

証明：多項式が線形独立であることを最初に示します。と仮定し$f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$のすべてのための。上の（強い）帰納法で証明する| S | そのC S = 0。すべてのc T = 0であると仮定します| T | < kで、カーディナリティkのセットSが与えられます$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$$|T| < k$$S$$k$。すべてのために$T \subset S$我々は誘導によって知っている$c_T = 0$、およびそう$0 = f(1_S) = c_S$、$1_S$ある入力された$1$の座標上$S$。$~\qquad\square$

請求ショー機能の多重線形表現こと（実際には、ユニークであり、fは偶数である必要はありません0 / 1 -valued）。ORの一意の多重線形表現は1 − ∏ i（1 − x i）であり、次数はnです。$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

ましょう多項式ようであることがすべてのためのx ∈ { 0 、1 } nは、P （X ）= O R（X ）。多項式pの対称化を検討してください： OR関数は対称ブール関数であるため、、、および場合があることに注意してください。以来、多項式非ゼロであり、少なくとも有する$p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$

$$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$$ $k = 1, 2, \ldots, n$$q(k) = 1$$q(0) = 0$$q-1$$n$0の場合、少なくとも次でなければなりません。したがって、は次数も必要です。$n$$p$$n$

対称化は、ブール関数のおおよその程度と量子クエリの複雑さの研究でよく使用されます。たとえば、http：//www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdfを参照してください。

ユヴァルとヘンリーは、この事実について2つの異なる証拠を与えました。ここに3つ目の証拠があります。

最初に、Yuvalの答えのように、多重線形多項式に注意を制限します。これで、OR関数に等しい次数多重線形多項式を既に示しました。ここで示す必要があるのは、この多項式が一意であることです。したがって、OR関数の唯一の表現が多項式であることがわかりました。したがって、その次数はです。$n$$n$

主張：2つの多重線形多項式pとqがハイパーキューブ上で等しい場合、それらはどこでも等しくなります。

証明：r（x）= p（x）-q（x）とすると、すべてのxについてr（x）= 0であることがわかります。r（x）がゼロであることを示したいと思います。矛盾に向かって、そうではないと仮定し、最小次数を持つ非ゼロ係数を持つrの単項式を選択します。この単項式の外側のすべての変数を0に設定し、この単項式のすべての変数を1に設定します。この入力でr（x）はゼロ以外ですが、この入力はブール値です。これは矛盾です。$\{0,1\}^n$