TCSのグレブナーベース？

誰もがグレブナー基底の理論的計算機科学への興味深い応用を知っていますか？

グレブナー基底は、一般にNP困難な問題である多変量多項式を解くために使用されます。TCSまたはTCS関連分野（組み合わせ論、コーディング理論）で効率的なアルゴリズム/構築/証明を提供するために、扱いやすい特別なケースが使用されているかどうか疑問に思っていました。

グロブナー基底計算は、EXPSPACE全体では一般的ですが、ブール環上のPSPACEで行われます。これには、BDDに代わるモデルチェックのアプリケーションがあります。Quoc-NamTran、「ブールリングでのグレブナー基底計算のためのPSPACEアルゴリズム」、Proc。WASET、Vol。35、2008年11月、ISSN 2070-3740

[NOTE]グレブナ基底がブールの上にPSPACEであることを示す結果が間違っていると思われるリング、マーク・バンHoeijを参照して、ブール環におけるグレブナー基底はPSPACEではありません：、arXivの1502.07220、2015。

[注意]グレブナー基底計算がブール環上のPSPACEにあるという結果は間違っているように見えるという主張は間違っています。著者は、PSPACEの計算可能性と多項式サイズを持つことを混同しています。PSPACE関数は、指数関数的に長い出力を持つ場合があります。

コーディングと暗号化におけるGrobnerベースのアプリケーションに関する興味深いSpringerボリュームがあります：

• GröbnerBases、Coding、およびCryptography、/ Sala、M .; モーラ、T .; ペレ、L。サカタ、S .; Traverso、C.（編）。

個人的には、エラーロケータ多項式の理想を計算するアルゴリズムの研究を行っています（コーディング理論、特にシンドロームデコーディングでよく知られた概念）。アルゴリズムジオメトリエラーロケーターからのコードの場合、理想は通常、いくつかの変数からの多項式の理想です。これは、Grobner Basesが中心的な役割を果たす場所です。上記のボリュームで私にとって最も興味深い部分は、S。SakataのBMSアルゴリズムの説明と、代数幾何学コードをデコードするためのアプリケーションの調査です。

8Fワークショップで聞いたばかり

ネットワークコーディングをフローネットワークに実装できるという元の証拠は、Grobnerベースを使用しています。

Gröbner基底は、制約充足問題に適用されています（この補助金を参照）。現時点では、Grobner基底手法は、優れた汎用SATソルバーは言うまでもなく、成熟した検索ヒューリスティック、一貫性強制手法、および効率的な特殊目的のプロパゲーターと競合しているため、制約充足のアプリケーションには有用ではないようです。しかし、特にグレブナー基底が妥当なサイズである場合、明らかに理論的な用途が発見されるのを待っていると思います。MACIS 2007で発表されたJefferson、Jeavons、Green、およびvan Dongenの論文も参照してください（ジャーナルバージョン：AMAI 67 359–382、2013、doi：10.1007 / s10472-013-9365-7）。 。

グレブナー基底を使用して、複雑な重みを持つ単一のバイナリ制約関数（arXivバージョン）を使用した3正規グラフ上の#CSP問題の新しい二分法定理の簡単な証明を見つけるのに役立てました。

制約関数のセットには自然な同値関係があります。つまり、可能なすべてのインスタンスグラフに対して、場合、です。3正規グラフの場合、可能なすべてのグラフに存在する同等クラスよりも少ない同等クラスがあります。二分法の定理は各等価クラスの1つの制約関数の複雑さを証明するだけでよいため、これはより短い証明につながります。＃CSP （F ）= ＃CSP （G $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

グレブナー基底は、バイナリ関数を定義するために必要な最初の4つの変数から、各等価クラスで不変である6つの「対称化された変数」に変換するために使用されます（上記の論文のセクションDを参照）。ただし、最初の4つの変数からさまざまな多項式（MathematicaのGroebnerBasisによって実行された）の6つの対称変数への自動変換が唯一の目的であったため、Grobner基底については言及していません。

次の論文は、1つのアプリケーションとして見ることができます。

• Gunnar Carlsson、Gurjeet Singh、Afra Zomorodian：Computing Multidimensional Persistence。Journal of Computational Geometry、1（1）2010、72〜100ページ。http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

著者は、Buchbergerのアルゴリズムをサブルーチンとして使用し、問題の構造を活用して、実行時間が多項式的に制限されていることを証明しています。

Grant Passmoreと他の人は、SMTソルバーのコンテキストでそれらについて書いています。私はGroebnerベースやSMTソルバーの専門家ではないので、このリファレンスがあなたの質問にどれだけ答えているかを評価するのは難しいです。

証明の複雑さにおいて、グレブナー塩基の使用は、 CNFに反論するために、Clegg、Edmonds、Impagliazzoによって提案されました。この証明システムが解像度を指数関数的に上回る場合もありますが、一般的なインスタンスのパフォーマンスが実際に改善されているとは思えません。

また、解像度の下限の多くが多項式計算（Grobner基底に基づく証明システム）を保持することも事実です。例外は通常、基礎となるフィールドの特性に対して構築されます。これは、で作業することで、一部の数式では役立つが、他の数式ではできないことを意味します。$GF(2)$

しかし、多項式計算は解像度ほど研究されていないため、十分にテストされたヒューリスティックは利用できません。

cryptanalysyisのアプリケーションについては、これも参照してください（これについてはあまり知りません）。

AlekseyevとPevznerは、それらを使用し、本論文の計算に線形時間で2つのゲノム間の-break距離を。大まかに言うと、その距離は、特定のゲノムを個に分割し、そのゲノムを別の特定のゲノムに変換するために再配置する必要がある最小回数として定義されます。$k$$k$

Grobnerベースは、リードソロモンコードの最速リストデコードアルゴリズムに使用されます：http ://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Gröbner基底は、コンピュータービジョンの複数ビュージオメトリにおける重要な問題を解決するために使用されています。

http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdfに従って、同型を決定するためにグロブナー基底が使用されることがあります（グラフが方程式系によってエンコードされる場合）。しかし、これはCNFSに反論する際にグロブナーベースを使用することにつながります。