近似度

編集（v2）：問題について知っていることに関するセクションを最後に追加しました。

編集（v3）：最後にしきい値の程度に関する説明を追加しました。

質問

この質問は主に参照リクエストです。私は問題についてあまり知りません。この問題に関する以前の研究があるかどうか知りたいのですが、もしそうなら、誰かがこの問題について話している論文を教えてくれますか？また、の近似次数の現在の最適な境界を知りたいです。他の情報（たとえば、履歴情報、動機、他の問題との関係など）も高く評価されます。 $\textrm{AC}^0$

定義

してみましょうなるブール関数。してみましょう変数上の多項式ことに実係数で。多項式の次数は、すべての単項式の最大次数です。単項式の次数は、その単項式に現れるさまざまな指数の合計です。たとえば、です。 $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $p$ $x_1$ $x_n$ $x_i$ $\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

すべてのについて場合、多項式は -approximateと呼ばれます。ブール関数の近似次数は、として表され、 -approximate多項式の最小次数です。関数のセットについて、、最小の次数である内のすべての関数ようにすることができ $p$ $\epsilon$ $f$ $|f(x)-p(x)|<\epsilon$ $x$ $\epsilon$ $f$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$ $\epsilon$ $f$ $F$ $\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$ $d$ $F$ $\epsilon$ 高々度の多項式で-approximated $d$ 。

すべての関数は次数多項式でエラーなしで表現できることに注意してください。一部の関数には実際に次数が必要です $n$ $n$ 、定数誤差に近似するために多項式です。パリティはそのような関数の例です。

問題文

何が $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ ？（定数1/3は任意です。）

ノート

この問題は、Paul BeameとWidad Machmouchiによる論文The Quantum Query Complexity of AC0で発生しました。彼らが言う

また、我々の結果は、AC0関数のおおよその次数の下限のギャップを閉じるために何もしません。

彼らは、彼らの謝辞にも「おおよそのAC0の程度の問題」に言及しています。

だから私は以前にこの問題に関するいくつかの仕事があったと思いますか？誰かが私に問題について話している論文を教えてもらえますか？そして、最もよく知られている上限と下限は何ですか？

問題について知っていること（このセクションは質問のv2で追加されました）

で最もよく知られている上限は、自明な上限です。私が知っている最良の下限は、衝突と要素の明確さの問題に対するアーロンソンとシの下限から得られ、下限を与えます。（厳しく制限されたバージョンでは、式サイズが式や、ゲートの深さ2回路のように、上限を証明できます量子クエリの複雑さを使用します。） $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ $n$ $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$ $\textrm{AC}^0$ $o(n^2)$ $o(n^2)$ $o(n)$

関連：しきい値の程度（v3で追加）

剛がコメントで指摘しているように、この問題はのしきい値の程度を決定する問題に関連してい。関数のしきい値次数は、およびような多項式最小次数です。 $\textrm{AC}^0$ $f$ $p$ $f(x)=1 \implies p(x)>0$ $f(x)=0 \implies p(x)<0$

シェルストフにより、のしきい値次数の下限が改善されました。彼は、深さが無限大になるにつれてしきい値の程度が近づく変数について、一定の深さの1回限りの読み取り式のファミリーを展示します。）度。http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/を参照してください。（2014年1月） $\mathrm{AC}^0$ $n$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$

— ロビン・コタリ
ソース

下限Ω（n ^（1/3））は、しきい値次数（f（x）= 1⇒p（x）> 0およびf（x）= 0であるような多項式pの最小次数）でも既知です。 p（x）<0）。Sherstovによる「二重多項式を使用した通信の下限」のセクション3.1の終わりを参照してください。

— 伊藤剛

@剛：ありがとう。AC0のしきい値の程度（おおよその程度の下限）も興味深い質問です。AC0のしきい値次数について知っている最高の下限は、O'DonnellとServedioによる多項式しきい値関数の新しい次数境界にあります。下限は、回路の深さとともに増加する対数係数により、Ω（n ^（1/3））よりも優れています。

— ロビンコタリ

おっと、あなたは正しいです、

AC0のための近似度の下限は、アーロンソンと市から明らかです。愚かな私。オドネルとセルベディオへのポインタもありがとう。

\tilde{Ω} (n^{2 / 3})

$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$

— 伊藤剛

Mark BunとJustin Thalerによる最近の論文「Hardness Amplification and the近似程度の定深度回路」もこの問題を簡潔に議論しています。彼らは、AaronsonとShiの下限はAC <sup> 0 </ sup>の関数の最もよく知られている下限であり、その下限は少し一般的なモデルでも成り立つと言います。

— ロビンコタリ14

Mark BunとJustin Thalerの論文がECCCに最近掲載されました（2017年3月中旬）。この質問に正確に答えています。「AC0の近似度のほぼ最適な下限」

$\delta > 0$ $f$ $\mathrm{AC}^0$ $\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$ $O(n)$

$f$ $d$ $F$ $O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$ $D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$ $d = n^{1−Ω(1)}$ $D$ $d$ $f$ $F$

これはこの問題の下限に関する最新の更新であり、非常に重要な一歩です。論文の「はじめに」および「応用」セクションも、以前の研究および関連する問題の参考資料として役立ちます。

免責事項：私はまだ論文を注意深く読んでいません。

— AN
ソース

実際、これで問題はほぼ解決しました。また、近似度の準多項式サイズのDNFも示しています。

Ω (n^{1 - δ})

$\Omega(n^{1-\delta})$

— ロビンコタリ