対称多項式の評価

ましょうである対称の多項式、すなわち、多項式のように、F （X ）= F （σ （X ））のすべてのためのx ∈ K、N及びすべての順列σ ∈ S N。便宜上、計算モデルの問題に対処することを避けるために、Kは有限体であると想定できます。$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

LET 計算の複雑示すFを、即ち、所与、そのアルゴリズムの複雑度Xを、戻りF （X ）。我々は何とか特徴づけることができますC （Fを）の性質に基づいて、F？たとえば、C （f ）がすべての対称多項式fの多項式（n単位）であることは保証されていますか？$C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

特殊なケースとして、（a）時間ポリ（n ）でべき乗多項式を計算でき、（b）ニュートンの恒等式を使用して、時間ポリ（n ）で基本対称多項式を計算できます。場合その結果、fはない変数が高い1（すなわち、場合より乗されていない単項式の加重和であり、Fは多重線形である）、次いで、fは、それが加重和として表すことができるので（多項式時間で計算することができます。基本対称多項式の）。たとえば、K = G F （$\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$、すべての対称多項式を多項式時間で計算できます。これ以上言えることはありますか？$\mathbb{K}=GF(2)$

質問はかなり開かれたようです。あるいは、有限体上の可能な対称多項式の時間の複雑さを正確に特性化したいのでしょうか？

いずれにせよ、少なくとも私の知る限りでは、対称多項式の計算の時間の複雑さについて、よく知られている結果がいくつかあります。

1. 場合有限体上の基本対称多項式である、それは多項式サイズの均一によって計算することができるT C 0回路。$f$$TC^0$

2. が特性0フィールドの基本対称多項式である場合、多項式サイズの深さ3の均一代数回路（既にニュートン多項式について述べたように、またはラグランジュ補間式によって）によって計算できます。そして、これは多項式サイズの均一なブール回路に変換されると信じています（ただし、深さが一定ではないかもしれません）（ただし、これは作業している特定のフィールドによって異なる場合があります。簡単にするために、整数のリングを検討する場合があります。ただし、T C 0はどんな場合でも対称多項式を計算するのに十分であると私が仮定している整数）$f$$0$$TC^0$

3. 場合有限体上の対称多項式は、次に深さのための3つの代数的な回路の下限指数あるF（[GrigorievとKarpinsky 1998以下】GrigorievとRazborov（2000年））。しかし、上記の1で述べたように、これは一定深さのブール回路の下限にのみ対応します（T C 0には小さな均一なブール回路があります。つまり、多項式は多項式時間で計算できることも意味します）。 $f$$f$$TC^0$

おそらく、対称多項式の時間の複雑さについて、より多くの既知の結果があります...