シュワルツ–ジッペルの補題の代替証明

私は、シュワルツ-ジッペルの補題の2つの証拠しか知らない。最初の（より一般的な）証拠は、ウィキペディアのエントリに記載されています。2番目の証拠は、Dana Moshkovitzによって発見されました。

実質的に異なるアイデアを使用する他の証拠はありますか？

幾何学的証明のために私が持っていた別のアイデアがあります。射影幾何を本質的な方法で使用します。

ましょ超曲面の外側アフィン点であるS。cを中心として、超平面を超平面に無限に投影します。それは、すべてのマップであり、X ∈ Sを上にP （X ）を介してユニークな線との交点CとX無限遠超平面とします。無限遠点のpの下のプリイメージはすべて同じ線上にあるため、（再び問題を次元1に減らす）それらのほとんどdがあります。無限遠の超平面にはカーディナリティがあります| FのM $c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$、したがって、おなじみの上限を取得します | S | ≤D | F m − 1 | 。$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Per Vognsenの回答のフォローアップとして、Dana Moshkovitzの証明は、シュワルツ・ジッペル補題のわずかに弱いバージョンについての非常に簡単な証明をすでに示唆しています。

ましょう程度のゼロでない多項式であるD、Fは、オーダーの有限体であり、Q、およびlet X ∈ F Nように点であるF （X ）≠ 0。ある（Q N - 1 ）/（Q - 1 ）を通過する多くの異なる線Xそれらが分割するようにF、N - { xは$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$。これらの各ラインへのの制限は、dの1変量多項式です。これは、xで非ゼロであり、最大でd個のゼロを持っているため、非ゼロです。したがって、fのゼロの総数は最大でd （q n − 1 ）/（q − 1 ）です。比較のために、Schwartz-Zippelはd q n − 1のより強い上限を与えます。$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

この証明の容易さを考えると、それは民間伝承だと確信しています。そうでない場合、それは:)である必要があります。誰かが参照を提供できれば幸いです。

モシュコビッツの証明は単純な幾何学に基づいていますが、その論文はあまり明確ではありません。アイデアは次のとおりです。

m変数の次数多項式は、F mの超曲面を切り取ります。超曲面と独立した線の交点（つまり、交点が線全体ではない）のd点は最大です。超曲面から独立したあらゆる場所の方向を見つけることができる場合、F mをその方向の平行線で構成し、各線内の交点を数えることができます。葉層構造は同型である超平面方向の直交補によってパラメータ化されたFのM - 1のすべてにわたって超曲面点の総数に、Fの mが最大であるD | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$。$d\ |F|^{m-1}$

これは、同様の線に沿った他の証明が機能することを示唆しています。

編集：Arnabの証明がMoshkovitzの証明とどのように関係しているかについて少し言いたかった。彼は超曲面の外側の点を取り、その点を通る線の鉛筆を考慮します。Moshkovitzは、平行線のファミリーを考慮します。異なるように見えますが、実際は同じものです！並列ファミリは、無限遠の点を通る線の鉛筆です。Arnabの代数は、最初に多項式の均質化を行い、差し込むことで無限大の超平面に制限する場合、逐語的に適用されます。$w = 0$

編集：新しい（ただし完全に無関係ではない）証拠についての他の回答を参照してください。

試行1：

アローラ/バラクの本の補題A.36（529ページ）をご覧になりましたか？それはほぼ半分のページであり、誘導に基づいています。

本にアクセスできない場合は、ここで証明を行うことができます。

試行2：

何についてシュワルツ-Zippel補題の興味歴史？とりわけ、1977年に遡るDeMillo-Liptonの論文を引用しています。他のいくつかの論文も同様に命名され、比較されています。

試行3：

次のMathOverflowトピックも興味深いかもしれません：多項式同一性テストのためのP / polyアルゴリズム。

この論文のセクション4に示すようにシュワルツ-Zippel補題はノーガ・アロンとゾルタン・ファーディの定理の特別な場合である有限格子における多項式の零点で、ひいてはその定理の新たな証拠は、シュワルツの新しい証拠を与えます-ジッペル。今のところ、6つの異なる証明を知っています。そのうちの2つは論文に記載されており、他の文献はそこで参照されています。

アロン-フレディの定理は次のように述べています。

レッツ聞かせて、フィールドでA = ΠをN 私は= 1 A iの ⊂ F nは有限のグリッドも、とlet fは∈ Fを[ T _ ] = F [ T 1、... 、T N ]がない多項式ことAでも同様に消えます。次いで、F （X ）≠ 0少なくとも用分Π Y Iの要素のx ∈ $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$ここで、最小値は、すべての正の整数で引き継がれとΣ N iが= 1、Y iは = ΣをN iは= 1つの＃1 A I - ゜Fを。$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

これでを仮定し、最小値（この論文で言及されているBins in Binsを使って簡単に行うことができます）を仮定すると、フィールド（またはドメイン）でSchwartz-Zippel補題が得られます。$\deg f < \min \#A_i$

Schwartz–Zippel補題の元の定式化は、フィールドにのみ適用されます。

Lemma (Schwartz, Zippel).
Let $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ be a non-zero polynomial of total degree $d \geq 0$ over a field, $F$. Let $S$ be a finite subset of $F$ and let $r_1, r_2, \dots, r_n$ be selected at random independently and uniformly from $S$.
Then $\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

One can reformulate the lemma such that it makes sense for arbitrary commutative rings:

Lemma (Jeřábek).
Let $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ be a non-zero polynomial of total degree $d \geq 0$ over a commutative ring, $R$. Let $S$ be a finite subset of $R$ with $\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$ and let $r_1, r_2, \dots, r_n$ be selected at random independently and uniformly from $S$.
Then $\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

The advantage of the proof from wikipedia is that it generalizes to show that the reformulation holds true for arbitrary commutative rings, which has been noticed and worked out by Emil Jeřábek here.

This gives an alternative proof of the Schwartz-Zippel lemma, by proving the reformulation for general commutative rings, and obtaining the normal formulation for fields as a corollary.