次数1のn多項式の乗算

問題は、多項式を計算することです。すべての係数が機械語に適合する、つまり単位時間で操作できると仮定します。 $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

ツリー形式でFFTを適用することにより、時間を実行できます。はできますか？ $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— ミハイ
ソース

いい質問です。誰かのブログで似たようなものを見たようですが、どこにあったか思い出せません。

— グリゴリーヤロスラフ

マイナー観測：我々は（Q、たとえば上で作業）を知っているn個の根を

、問題は同等ですので：与えられた、多項式を計算する。（推測）

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— シュリーバツァー

結果への参照を提供できますか？

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— モハマドアルトルコ

@Sureshが述べたように、それは単純な分割統治アプローチです。n個のポリの次数

が異なるように一般化することができます。この場合、ハフマンツリー形式で分割できます。Strassen：連続分数の計算の複雑さを参照してください。

d_{i}

$d_i$

— -Zeyu

時間

で定数次元2の

ベクトルの畳み込みを計算できますか？

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— カベ

警告：これはまだ完全な答えではありません。もっともらしい議論があなたを不快にさせるなら、読むのをやめてください。

複素数に（x-a_1）...（x-a_n）を掛けるバリアントを考えます。

問題は、n点で多項式を評価することと二重です。これがO（n log n）の時間にうまく行われ、ポイントがたまたま団結のn番目のルートになることがわかります。これは、高速フーリエ変換の根底にある正多角形の対称性の本質的な利点を活用します。この変換には、従来、時間の間引きと周波数の間引きと呼ばれる2つの形式があります。基数2では、それらは偶数側の正多角形の二重ペアの対称に依存します：インターロック対称（正六角形は2つのインターロック正三角形で構成されます）およびファン展開対称（正六角形を半分に切り、ファンのような部分を展開します）正三角形に）。

この観点から、O（n log n）アルゴリズムが特別な対称性のないn点の任意のセットに対して存在することは非常に信じがたいようです。複雑な平面内のランダムなポイントセットと比較して、通常のポリゴンについてアルゴリズム的に例外的なものはないことを意味します。

— ヴォグセンごと
ソース

一方、そのような自然な問題に対する

下限は、同様に信じがたいようです！

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— ジェフ

本当だ！もっと決定的な答えがあればいいのに。とても面白いです。

— Per Vognsen

バウンティが授与されました！

— ジェフ

@PerVognsen：この視点についての参照を再提供できますか：ポリゴンの対称性/インターロック対称性？または、これがあなた自身の観察であるならば、あなたはそれをもう少し広げることができますか？

— ジョシュアグロチョウ