超対数回路の複雑さの下限を持つ1変数の明示的多項式？

引数を数えることにより、1変数に次数nの多項式（つまり、が存在し、回路の複雑度がnであることを示すことができます。また、ような多項式には少なくとも乗算が必要であることを示すことができ（十分に高い次数を得るために必要です）。複雑さの超対数下限を持つ1変数の多項式の明示的な例はありますか？（任意のフィールドでの結果は興味深いでしょう） $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)$ $x^n$ $\log_2 n$

— マット・ヘイスティングス
ソース

有限体上の回路の複雑さ

を念頭に置いた例はありますか？無限の場で数え上げの議論がどのように機能するかはわかりません。また、合理性に関しては、パターソン-ストックマイヤーの

n

$n$

バウンドはきつい（下記の私の答えも参照）。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— ジョシュアグロチョウ

あなたが言及するsqrt（n）の境界は、（任意のフィールドでの）乗算の数の上限ですが、加算と乗算の両方を演算としてカウントする場合、ほぼすべての多項式に対して無限のフィールドでn回の演算が必要です。多項式にはn個の異なる係数があり、n個未満の演算ですべての可能な多項式を評価する方法がないためです（これをカウント引数と呼ぶべきかどうかはわかりません）。

— マットヘイスティングス

「n ops未満で可能なすべての多項式を評価する方法はありません」というステートメントで、もう少し正確にならなければならないと思います。それを解釈する1つの方法は次のとおりです。我々が考える場合には、多項式

多項式としてだけではなく、中

、だけでなく、治療

（、同等、または仮定「変数としてよ

代数的に独立している）を、これがn個の追加を必要とする結果は、パン（1966）であり、単なるカウント引数ではありません（それほど難しくはありませんが）。そうでなければ、そのステートメントでどのような結果を参照しているのかよくわかりません。

\sum a_{i} x^{i}

$\sum a_i x^i$

x

$x$

a_{i}

$a_i$

a_{i}

$a_i$

— ジョシュアグロチョウ

つまり、回路は加算ゲートと乗算ゲートで構成されています。特定のゲートの入力は、前のゲートの出力、x、またはいくつかの定数です。問題は、与えられた多項式について、それを計算するための回路とその回路内の定数の選択を見つけることができますか？しかし、多項式の（n + 1）次元空間がありますが、nゲート未満の回路の構造を固定する場合（「構造」により）、どのゲートが他のどのゲートの出力を使用するかを意味し、すべてを考慮します定数の可能な選択。これにより、計算可能な多項式のn次元未満の空間が得られます。

— マットヘイスティングス

ところで、私が得た印象は、係数をさらに制限することなく、RまたはCで明示的な例を構築することでほぼ解決できるということです。一方、すべての係数a_iが整数であり、あまりにも急速に成長しない明示的な例を構築すると、まだ開いていますか？あなたが言及した調査にはすべての整数定数の例がありますが、それらは指数関数的に二重に成長します。

— マットヘイスティングス

パターソンとストックマイヤーは、ほとんどのことを示しています $n$ -有理数のタプル $(a_1, \dotsc, a_n)$ 、評価中 $\prod_{i=1}^{n} (x - a_i)$ が必要です $\Omega(\sqrt{n})$ 算術演算、これはきついです。

次の多項式は、 $\sqrt{n}$ Strassen、Schnorr、およびHeintz＆Sievekingの結果による制限： $\sum_{i=1}^{n} 2^{2^{i}} x^{i}$ 、 $\sum_{i=1}^{n} e^{2 \pi i / 2^{i}} x^{i}$ 、 $\sum_{i=1}^{n} i^{r} x^{i}$ （にとって $r$ 整数ではない有理数）など。正確な参照および詳細については、フォンツアガテンの調査のpp。324-325を参照してください。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

ありがとう。したがって、未解決の問題は、加算を演算としてもカウントすると、sqrt（n）演算よりも多く必要な多項式を構築でき、n演算が必要な多項式を構築できることです。これに対する結果はありますか？（sqrt（n）乗算のみを必要とする方法では、加算により行列乗算が行われるため、おそらく行列-スカラー乗算の複雑さの下限に下がるため、疑問です）

— マットヘイスティング