そのようなマトリックスは存在できますか？

私の仕事中に私は次の問題を思いつきました：

私が見つけることを試みている $n \times n$ $(0,1)$ -マトリックス $M$ 任意のため、 $n > 3$ 次のプロパティを持ちます、：

の行列式 $M$ は偶数です。
任意の空でない部分集合のための $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ と $|I| = |J|$ 、部分行列 $M^I_J$ は、場合のみ奇数行列式持ち $I=J$ ます。

ここで $M^I_J$ は、インデックスを持つ行とインデックスを持つ列を削除することによって作成されたのサブマトリックスを示します。 $M$ $I$ $J$

これまでは、ランダムサンプリングによってそのような行列を見つけようとしましたが、最初の行列を除くすべてのプロパティを持つ行列のみを見つけることができます。つまり、行列には常に奇数の行列式があります。さまざまな次元とさまざまな入出力セットを試しましたが、成功しませんでした。だからこれは私に考えさせます：

要件間に依存関係があり、それらが同時に真になることを妨げていますか？

または

そのようなマトリックスが存在する可能性はありますか？誰かが私に例を示すことができますか？

ありがとう、エッチ

— エッチ
ソース

ランダムなサブセットですか、それともサブセットですか？

— Suresh Venkat

これは、と思わおよび互いに競合、停止するためには何もありませんので、 1つのランダムサブセットがあることに別のランダムなサブセットで。それとも、サブセット、単一のペアに対してこれを真にしたいですか？

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Peter Shor

はい、2つのサブセットおよびは修正されています。例えばための 1つを設定することができ、、及び、、、次に問題がある：（7×7）行列あり、その結果、、など、定義された20のプロパティに従います。

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

質問を単純化して読みやすくするために、、、、、、を修正するだけでいいですか？

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela、2011年

明確にするために編集。

— Jeffε

そのようなマトリックスは存在しません。

Desnanot-ヤコビ恒等式は、そのために言う、使用してこれにより、しかし、要件により、左側が0（mod 2）になり、右側が1（mod 2）になり、互換性がないことが示されます。 $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— ピーター・ショー
ソース

いいね！しかし、質問の2番目の箇条書きだけで満足できると質問者が言ったため、私は混乱しています。

— 伊藤剛

@剛：2番目の弾丸はどのようにアイデンティティと矛盾しますか？単位行列満たす第二弾、そしてそれはそのチェックするのは簡単です満足するDesnanot・ヤコビのアイデンティティを。（あなたがをとっていない限り、これは私が私の答えに追加したアイデンティティの条件に違反しています。）

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— Peter Shor 11/11/10

申し訳ありませんが、私の以前のコメントは偽で、私は思ったよりも混乱しているようです。質問の要件で、回答の2番目の方程式の左辺が0 mod 2になるのはなぜですか？

— 伊藤剛

今、私はあなたが何を意味するのかを見ます。最初の行と最初の列を削除する必要はありませんでした。

— 伊藤剛

@Etsch：私は考えていた、私が書いたとき。今は正しいと思います。

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor