方程式のシステムはモジュロ解決される

私は、任意のkについてkを法とする線形方程式を解く複雑性に興味があります（そして、素数に特別な関心があります）、特に：

問題。 kを法とするn個の未知数におけるm個の線形方程式の与えられたシステムに対して、解は存在しますか？$m$$n$$k$

その紙に抽象的には、logspace-MODクラスの構造と重要性クラスのモッズ_のk L、彼らは"という、Buntrock、ダム、Hertrampf、およびMeinel請求有限リング上で線形代数のすべての標準的な問題ことを証明することにより、その重要性を実証しは、これらのクラスに対して完全です$\mathbb Z/k\mathbb Z$。よく見ると、話はもっと複雑です。たとえば、Buntrock et al。（Kavehが発見した以前の自由にアクセス可能なドラフトの校正で、ありがとう！）線形方程式の解法は代わりに補クラスcoMod _k Lにあることを示すkプライム。このクラスは、に等しいことないことが知られていないのModの_k個のLのためのk個の線型方程式系を解くかのmodについて私が心配ですが、彼らがどんな発言をしないという事実である-ことを気にコンポジット、決してkがさえている含まれています中coModの_k個のLのためのk個の複合！

質問： すべての正のkについて、coMod _k Lに 含まれるkを法とする線形方程式系を解きますか？

あなたは、方程式のシステムを解くことができれば、より高い電力を法Qプライムのpは、あなたは彼らがモジュロ解決することができますpは同様。qを法とする連立方程式を解くのはcoMod _p L -hardです。この問題がMod _q Lにあることを示すことができれば、すべてのk _に対して Mod _k L  =  coMod _k Lを示すことになります。それを証明するのは難しいでしょう。しかし、それは coMod _k Lですか？

この質問に肯定的に答えることができると思います。つまり、kを法とする線形合同が実行可能かどうかを判断することはcoMod _k L -completeです。

実際に、この問題を素数の特別な場合に減らすことができます。次のことを示すことができます：

通常のフォーム。クラス coModの_k個の Lは langaugesのから成るL形のL  =  Lの_{P 1}  ∩  Lの_{P 2}  ∩...∩  Lの_p個のR  、Lの_p個のJ  ∈  coMod _{のp jは}  LとPの_j個の範囲の素因数上K。

剰余定理により、各素数べき乗p e jを法とする連立方程式の解をkで割ると、同じシステムmodkの解が得られます。したがって、p t j上の線形方程式系を解く場合$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$はcoMod_pj Lに含まれているため、方程式mod modkの解はcoMod_kLに含まれます。

マッケンジーとクックによって説明された標準アルゴリズムがあります。これは、主空間を法とする線形合同を減らして、そのヌルスペースのスパニングセットを構築します（つまり、与えられたリング上のA x  =  yに対して、[  A  |  y  ]そして、最終係数が-1の解が存在するかどうかを確認します。そしてその後、素数を法とするヌル空間の構築を削減し、素数を法とするヌル空間の構築と、素数を法とする行列乗算を削減する。後者のタスクは両方とも、関係する行列を構築できる場合、coMod _k Lで実行可能な問題です。

McKenzieとCookの削減に関与する行列は、行列乗算、および（重要な）定数因子による除算によって計算できることがわかりました。幸いなことに、素数の場合、関係する行列の係数は、coMod _p L -machinesのoracleを使用してワークテープで計算できます。また、定数による除算はNC ¹で実行でき、これもcoMod _p Lで実行可能です。したがって、問題全体が最終的にcoMod _k Lで実行可能であることがわかります。

詳細については、[ arxiv：1202.3949 ]を参照してください。