してみましょう正方整数行列で、とlet正の整数になります。次の決定問題の複雑さに興味があります。n
右上のエントリは正ですか？
反復二乗（または他の明示的な計算）の明白なアプローチでは、潜在的に2倍の指数の整数、つまり指数的に多くのビットを持つ整数を処理する必要があることに注意してください。ただし、この問題はAllenderらの「PosSLP」クラス（「数値解析の複雑さ」、SIAM J. Comput。38（5））にあり、したがってカウント階層の第4レベルにあることが容易にわかります。。
1）このマトリックスの電力供給問題をより低い複雑度のクラスに配置することは可能ですか？
2）そうでない場合は、おそらくPosSLPが難しいでしょうか？
3）特に低次元の行列、つまり6x6行列までの行列乗法問題に興味があります。そのような行列の複雑さはより低くなる可能性がありますか？
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タイトルを「マトリックスパワーの複雑さ」に変更すべきではありませんか？行列のべき乗（例えば、en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponentialを参照）は、一般的に行列A、Bの「A = exp（B）」として理解されます。
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マーティンシュワルツ
編集します。それは良い点です、@ MartinSchwarz
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Suresh Venkat
行列をPDP-1形式に変換すると（小さな行列と十分に高いnの乗数は定数と見なすことができます）、対角要素の各要素の符号を簡単に知ることができます。その後、残りの2つの行列乗算を簡単に計算できます。
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ロバートメイソン
@ロバート・メイソン：あなたが何を提案しているのか正確にはわかりません。DがMのヨルダン正準形であり、M ^ n = P ^（-1）D ^ n Pである場合、Dのエントリは通常複素代数になります。その「符号」とはどういう意味ですか？多項式時間でDとPを計算できることに同意します（代数的数の標準表現を想定しています）が、M ^ n = P ^（-1）D ^ n Pの右上のエントリで得られる式は式になります累乗nで累乗されたさまざまな代数的数を含み、この式の符号を効率的に決定する方法はわかりません。
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ジョエル
@ロバートメイソン：私はまだ理解していません-これはどのように/なぜ可逆行列のために効率的ですか？（そして、偶然、「ほとんどの」行列は逆ではなく、可逆です。）
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ジョエル