行列が完全に規則的かどうかを判断する複雑さ

行列は、そのすべての正方部分行列がフルランクの場合、完全に正規と呼ばれます。そのようなマトリックスは、超濃縮器を構築するために使用されました。与えられた行列が合理的に完全に規則的であるかどうかを判断する複雑さは何ですか？有限フィールド上ですか？

より一般的には、最大でのサイズのすべての正方部分行列がフルランクである場合、完全に正規の行列を呼び出します。行列とパラメータ与えられた場合、行列が完全に正規かどうかを判断する複雑さは何ですか？ $k$ $k$ $k$ $k$

cc.complexity-theory reference-request linear-algebra matrices

— マルクス・ブレザー
ソース

基本的な質問：正規行列とはどういう意味ですか？ありがとう！

— ヘンリーユエン

すべての部分行列が非特異であることを意味しますか？私は今見つけることができない同様の質問があったことを思い出す

— サショニコロフ

実際、レギュラーには3つの異なる意味があります。en.wikipedia.org

— wiki

ああ、関連する質問が見つかりました：cstheory.stackexchange.com/questions/10962/…。あなたの質問は、私がそこで行ったコメントにより密接に適合します。これは、制限されたアイソメパーティをテストする（広く開かれた）質問の簡単な変形です。

— サショニコロフ

有限体上で、

行列が

正則かどうかをテストすることは、

コード生成行列が最小距離

持っているかどうか（つまり、MDSかどうか）をチェックすることと同等です。最小コード距離を見つけるための定数因子近似でさえ困難です。このペーパーee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdfおよび内部の参照を確認してください。

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— ディミトリス

回答:

紙ヴァンデルモンド行列、NP完全性、及び横部分空間 [PS] （それはそれに答えていませんが）アレクサンダーChistov、エルヴェ・フルニエ、レオニードGurvitsとパスカルKoiranによっては、あなたの質問に関連する可能性があります。

$\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— ブルーノ
ソース

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

はい、あなたの問題は、アレクサンダー・チストフ、エルヴェ・フルニエ、レオニード・グルヴィッツ、パスカル・コイランの論文の問題（一般的な立場）と本質的に同等です。

$n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ 完全に規則的ではありません。

— レオニード・ガービット
ソース

同じ精神で別のNP完全問題があります。すべての主要な部分行列（つまり、同じセットの行と列）が非特異かどうかを決定する正方行列です。別の奇妙な事実：すべての平方部分行列の行列式の平方和は簡単ですが（ちょうどDet（I + AA ^ {T}））、絶対値の合計は＃P-Completeです。

— レオニード・ガービット
ソース