固有値を計算する空間の複雑さは何ですか？

私は、行列ランク、固有値計算などの一般的な線形代数演算の空間の複雑さに関する結果をカバーする調査論文または本を探しています。時間の結果をトレースするのが簡単です。この件に関する参考文献に感謝します。

ありがとう。

linear-algebra space-complexity

— ギル
ソース

私の推測では、複雑さは常に最大で線形（たとえば、

行列の

）です。「総スペース」または「作業スペース」に興味がありますか？

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— ユヴァルフィルム

私は仕事場に興味があると言ったはずです。

— ギル

行列の

であると確信しています。基本的な理由は、それらを計算する方法として2つの有用な方法を知っていることであり、どちらも空間で2次関数です。まず、特性多項式（2次）を計算し、根を見つけます。2つ目は、すべて修正された行列を保存する必要があるいくつかの近似方法を使用することです（ただし、これについて詳しく説明することはできません。数値線形代数を研究してからしばらく経ちました）。

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— yo

@Yuval Filmusが作成したポイントを拡張するために、スペースの複雑さは特定の計算モデルに非常に敏感です。特に、出力は線形サイズであるため、モデルが書き込み専用の出力テープを明示的に指定していない限り、出力テープをワークスペースとして使用することでトリックを行うことができます。そのような問題を避けるために、私は決定問題として言い換えたいと思います（例えば、3つの入力行列として与えられ、3番目が最初の2つの積であるかどうかを確認します）。あなたが念頭に置いていたモデルを指定できますか？（また、私はスペースの複雑さに関する本を知らず、有用な調査も見つけませんでした。）

— アンドラスサラモン

@AndrásSalamonに関して、私にとって必要な決定バージョンは次のようになります。qよりも大きいk番目の固有値です。整数kおよび有理qの場合。ありがとう。

— ギル

回答:

整数（または有理数）上の線形代数の多くの一般的な問題の決定バージョンは、クラスにあります。論文を参照してください。 $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock、Carsten Damm、Ulrich Hertrampf、Christoph Meinel：Logspace-MODクラスの構造と重要性。数理システム理論25（3）：223-237（1992）

は含まれてい。 $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

固有値の計算はもう少し繊細です：

1）では、特性多項式の係数を計算できます。 $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2）次に、ReifとNeffによる並列アルゴリズムを使用して、固有値の近似値を計算できます。このアルゴリズムは、CREW-PRAM上で、多項式的に多数のプロセッサを使用して対数時間で実行されるため、多対数空間でシミュレートできます。（論文では明示的に述べられていませんが、それらのPRAMは対数空間均一でなければなりません。）使用される空間は、入力行列のサイズと精度において多対数です。精度は、加算誤差までの近似値を取得することを意味します。 $p$ $p$ $2^{-p}$

これは、多対数空間で計算可能な関数の連結です。（出力テープは書き込み専用で、一方通行です。）

C.アンドリューネフ、ジョンH.レイフ：複雑な根の問題に対する効率的なアルゴリズム。J. Complexity 12（2）：81-115（1996）

— マルクス・ブレザー
ソース

最近、Ta-Shma [STOC 2013]は、行列のスペクトル近似を量子ログ空間で実行できることを示しました。そのため、スペクトル近似はランダムコインを使用したDSPACE（）にあり、ランダムコインを使用したで実際に実行できると考えています。 $log^2$ $NC^2$

— リオール・エルダー
ソース