より高い属のグラフの難しい問題

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平面グラフの属はゼロです。トーラスに埋め込み可能なグラフの属数は最大1です。私の質問は簡単です：

平面グラフでは多項式的に解けるが、属1のグラフではNP困難な問題はありますか？
より一般的には、属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？

— シヴァ・キンタリ
ソース

2番目の質問では、k> gの定数である属> = kのグラフの問題をNP困難にしますか？または、属がgより小さくないグラフの問題をNP困難にしたいだけですか（これは一般的なグラフのNP困難であることに相当します）？

— ロビンコタリ

1

属> = kのグラフのNP-Hard問題を探しています。ここで、kはgより大きい定数です。

— シヴァキンタリ

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これは私自身の作品の宣伝ですが、交差数と1平面性は平面グラフでは簡単に解決できますが、属1のグラフでは困難です。http://arxiv.org/abs/1203.5944を参照してください

— 誰か
ソース

3

「グラフは、エッジを追加することで平面グラフから取得できる場合、ほぼ平面です。グラフは、すべてのエッジが多くても1つの他のエッジと交差する図面がある場合、1平面です。NPであることを示します。 -与えられた平面に近いグラフが平面であるかどうかを判断するのは難しい。」私は何かが欠けているに違いない。すべてのほぼ平面のグラフも1平面ではないのはなぜですか？

— タイソンウィリアムズ

4

あなたが言っていると思うのは、平面埋め込みを取り、エッジを追加し直すことができるということです。しかし、その余分なエッジは複数のエッジを横切る可能性があり、1平面性に違反します。

G - e

$G-e$

— ティモシー日

@TimothySunはい。以外のすべてのエッジは（によって）1回しか交差しませんが、は他の複数のエッジと交差できますが、これは許可されていません。ありがとう。

e

$e$

e

$e$

e

$e$

— タイソンウィリアムズ

4

おもちゃの問題が問題ない場合：

ましょうおよびlet属のいくつかのグラフである。ため A CNF-式せの一部をコードすることが平面グラフとしてプラスの互いに素なコピー。 $g\in\mathbb{N}$ $H$ $g+1$ $\phi$ $G_\phi$ $\phi$ $H$

属グラフである与えられた場合、が充足可能かどうかを判断するのはNP困難です。ただし、この問題は、属グラフに制限されている場合は簡単になります。 $G_\phi$ $g+1$ $\phi$ $\leq g$

— ラドゥ・カーティカピーン
ソース

2

属のグラフ上でこの問題何です

\leq g

$\leq g$

— Sashoニコロフ

1

すべてのグラフ属はです。したがって、問題を属グラフに制限すると、いつでも拒否できます。

G_{ϕ}

$G_\phi$

g + 1

$g+1$

g

$g$

— ラドゥカーティカピアン

ああ、それは本当に些細なことになる、なるほど

— サショニコロフ

2

編集（2012-09-05）：ジェフとラドゥのコメントは正しい。引用された結果は質問に答えません。ラドゥのコメントに展開し、ここによる関連アルゴリズムであるBravyiに収縮matchgateテンソルためのアルゴリズムを与えるグラフと属実行時とここで、は、平面にするためにから削除する必要があるエッジの最小数です。 $G$ $g$ $T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$ $m$ $G$

Cai、Lu、およびXiaは最近、＃CSPカウントの問題について次の二分法を証明しました。

CSPの問題を数えるフレームワークで、複雑性の二分法の定理を証明します。ローカル制約関数はブール入力を取り、任意の実数値対称関数にすることができます。このクラスのすべての問題は、正確に3つのカテゴリに属していることを証明します。

（1）一般的なグラフでは扱いやすい（すなわち、多項式時間計算可能）、または
（2）一般的なグラフでは＃P-hardであるが平面グラフでは扱いやすい、または
（3）＃P-hard evenであるもの平面グラフ上。

クラシック化の基準は明示的です。

— マーティン・シュワルツ
ソース

2

これは質問に答えません。カテゴリ（2）は、（2a）平面グラフでは扱いやすいがトロイダルグラフでは＃P-hard、（2b）有界グラフでは扱いやすいが、非有界グラフでは＃P-hardに分割できますか？

— ジェフ

3

ケース（2）は、ローカル平面ガジェットを導入することにより、平面グラフでの完全一致のカウントに減らすことができる問題で構成されています。されても知られて完璧なマッチングが有界-属のグラフに多項式時間でカウントすることができます。したがって、ケース（2）のすべての問題は、有界グラフで実際に扱いやすいです。

— ラドゥカーティカピアン

2

固定には、グラフに（最大）属があるかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムがあります。ましょよりも大きい属のグラフにNP完全で何の問題も（例えば、3-着色性）。各固定するための、問題は、「入力グラフは最大で属持っていまたはそれである（または両方）？」一般入力ではNP完全ですが、入力が最大の属のグラフに制限されている場合、多項式時間アルゴリズムを使用します。 $g$ $g$ $X_g$ $g$ $g$ $g$ $X_g$ $g$

この考え方は、メンバーシップを決定するのが「簡単」である限り、一般的なグラフでは「難しい」がグラフのクラスでは「簡単」な問題を生成するために非常に一般的に使用できます。 $\mathcal C$ $\mathcal C$

— デビッド・リチャービー
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