単色コンポーネントサイズが

色付けを少し緩和します。つまり、少数の隣接する頂点に同じ色を割り当てます。単色成分は、同じ色を受け取る頂点のセットによって誘導されるサブグラフの連結成分であると定義され、問題は、最大単色成分がサイズを持つようにグラフを色付けするのに必要な色の最小数$\lambda$$C$を求めることです超えないC。この設定では、
従来の色付けは色付けと見なすことができます。したがって、一般的な平面グラフの場合、λの最小数はNP困難です。 $[\lambda,1]$$\lambda$

私の質問はどのようにについて、ある平面グラフの-coloring$[\lambda,2]$、またはより一般的には、のため-coloring C ≥ 2？$[\lambda,C]$$C \geq 2$

これはによって研究されているものの二重の問題として見ることができエドワーズとファー、固定されており、1は最小のサイズを見つけるように頼まれるCを。$\lambda$$C$

立方平面グラフでの2色の完全マッチングは、シェーファーが有名な二分法の定理論文でNP完全であると述べた問題に非常に似ていますが、立方平面グラフの証明はしていません。この問題は、すべての頂点がそれ自体と同じ色の隣人をちょうど1つ持つように、立方平面グラフの2つのカラーリングの存在を要求します。

編集：欠陥のある色はあなたの問題の決定版です。頂点が同じ色のd個を超える頂点に隣接しないように頂点をk色で着色できる場合、グラフは（k、d）着色可能です。決定問題（2,1）-欠陥のある色付け（最適化問題と同等）は、平面グラフでもNP完全であることが示されました。