正確な平面電気の流れ

平面グラフGとしてモデル化された電気ネットワークを考えます。各エッジは1Ω抵抗を表します。 Gの2つの頂点間の正確な実効抵抗をどれくらい迅速に計算できますか？ 同様に、Gの2つの頂点に1Vのバッテリーを取り付けた場合、各エッジに沿って流れる正確な電流をどれくらい迅速に計算できますか？

キルヒホッフのよく知られている電圧と電流の法則は、この問題を軽減し、エッジごとに1つの変数を持つ線形方程式を解くことになります。より最近の結果-Klein andRandić（1993）によって明示的に記述されていますが、Doyle and Snell（1984）の初期の研究では暗黙的です-そのノードのポテンシャルを表す頂点ごとに1つの変数を持つ線形システムを解く問題を軽減します; この線形システムの行列は、グラフのラプラシアン行列です。

どちらの線形システムも、ネストされた解剖と平面セパレーターを使用して、時間で正確に解くことができます[ Lipton Rose Tarjan 1979 ]。 これは既知の最速のアルゴリズムですか？$O(n^{3/2})$

Spielman、Teng、およびその他の最近の独創的な結果は、任意のグラフのラプラシアン系がほぼ線形時間でほぼ解けることを意味しています。現在の最高の実行時間については[ Koutis Miller Peng 2010 ]を参照してください。概要については、Simons FoundationのErica Klarreichによるこの驚くべき記事を参照してください。しかし、私は特に平面グラフの正確なアルゴリズムに興味があります。

一定時間で正確な実数演算をサポートする計算モデルを想定します。

ネストされた解剖を使用すると、平面グラフに基づいて）線形システムを解くことさえできます。これは、で述べたとえばた紙 私はギュンターローテとアレスリボとし、これを持っているアロンとYusterで紙。$O(\sqrt{n^\omega})$

前の論文には、共通面上の頂点間のペアワイズ抵抗を計算する方法も含まれています。Kenyonによるこのペーパーには、役立つアイデアも含まれている場合があります。$O(\sqrt{n^\omega})$