「ヘビ」再構成の問題

ビデオゲームのニブラーとスネークの複雑さに関する小さな記事を書いている間。平面グラフ上の再構成の問題として両方ともモデル化できることがわかりました。そして、そのような問題がモーションプランニングエリアで十分に研究されていない可能性は低いようです（たとえば、リンクされたキャリッジまたはロボットのチェーンを想像してください）。ゲームはよく知られていますが、これは関連する再構成モデ​​ルの簡単な説明です：

蛇の問題

入力：平面グラフ、l小石p 1、. 。。、P Lは、ノード上に配置されるU 1、。。。、U L単純な経路を形成します。小石は蛇を表し、最初の小石p 1は彼の頭です。頭は、現在の位置から隣接する空きノードに移動でき、本体はそれに続きます。一部のノードにはドットが付いています。頭がドットでノードに到達すると、ボディは$G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$次の小石のEヘッドの移動。ノードのドットは、ヘビの横断後に削除されます。$e$$e$

問題：スネークをグラフに沿って移動して、ターゲット構成 到達できるかどうかを尋ねます。ターゲット構成は、スネークの位置、つまり小石の位置の完全な説明です。$T$

SNAKE問題は、ドットが使用されていない場合でも最大次数3の平面グラフ上で、また任意の数のドットを使用できる場合はソリッドグリッドグラフ上でNP困難であることを証明するのは簡単です。ドットのないソリッドグリッドグラフでは事態が複雑になります（別の未解決の問題に関連しています）。

問題が別の名前で研究されているかどうかを知りたい。
そして、特に、それがNPにあるという証拠があれば...

編集：問題は平面グラフ上でもPSPACE完全であることが判明し、結果は非常に興味深いように見えるため、それが新しい問題であるかどうか、およびそれについて既知の結果があるかどうかを調べることは残っています。

簡単な例（小石は緑色で表示され、ヘビの頭はP1です）。

ヘビをある位置から他の位置に移動することはPSPACEの完了です。スネークはPSPACEにあります。ハーンの非決定論的制約論理からPSPACEの硬度を下げます。

非決定的制約ロジック

$1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

ヘビ

私たちの構造では、ヘビの頭は少しの距離で尾を追いかけ、わずかな修正を加えて同じサイクルを繰り返すことを強制されます。図のように制約グラフの各エッジを埋め込みます（エッジは赤で表示）。ここでは、太線でヘビの位置を示しています。エッジには2つの側面（頂点）があり、ヘビはエッジが向けられている頂点で中央ルートを取ります。

エッジを逆にするには、ヘビは最初に中央のルートをクリアし、頭が反対側の頂点に到達すると中央のルートを取ります。

$2$

最後に、すべてのエッジガジェットの黒い線が接続されて単一のサイクルが形成されるため、ヘビの頭が尾を追いかけます。2つのエッジガジェット間で黒のパスを十分に長くする場合、ヘビは常に同じ循環順序で黒のパスを通過する必要があります。

黒のパスは常に平面的に構築できることを示すために、制約グラフのスパニングサブツリー（下図の太いエッジ）を検討してください。次に、下の図のように、黒のエッジをこのツリーに追従させて、平面グラフを作成できます。

ヘビの目標位置は、同じ変換によって導き出すことができます。したがって、スネークの再構成は、平面グラフ上であってもPSPACEで完了します。