グラフの組み合わせ埋め込み

ここ：http : //www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf（章の埋め込み）には、平面グラフの組み合わせ埋め込みの定義が与えられています。（面の定義など）どんなグラフにも簡単に使用できますが、平面グラフをオイラー公式が保持するグラフとして定義します（グラフが接続されていると仮定）。すべての平面グラフで、コンビナトリアル埋め込みの面の定義が、トポロジカル埋め込みの面の定義に似ていることはかなり理解できます。（グラフが接続されていると仮定します。そうでなければ、組み合わせ埋め込みでは、接続されたすべてのコンポーネントに対して無限の面を持ちます）

問題は、接続されたグラフの組み合わせ埋め込みがオイラー公式を満たしている場合、これはこのグラフがトポロジカルな意味で平面的であることを意味しますか（平面埋め込み、つまり平面グラフです）？

これは実際にはグラフ自体についてではなく、トポロジについてです。コンビナトリアル埋め込みは、2次元多様体、すべての点が2次元の開いた円盤に同相の近傍を持つトポロジー空間を定義します：埋め込みは、顔を定義することを可能にし、それぞれの円盤を選択することでトポロジー空間を定義できますグラフの端に沿ってそれらを貼り付けます。トポロジのよく知られた定理（2多様体の分類と呼ばれる）は、どの2多様体が可能かを正確に示しており、それらは方向付け可能か、同じオイラー特性（またはその両方）によって互いに区別可能です。 ）— http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfを参照この主題に関する合理的な講義ノートには、あなたが求めている証拠が含まれています。この分類には、球体と同じオイラー特性を持つ他の2次元多様体はないため、オイラー特性を計算し、球体の公式と一致する場合、球体に埋め込む必要があることがわかります。

平面の組み合わせ埋め込みができたら、平面内の実際の幾何学的座標で埋め込みを見つけることは完全に簡単ではありませんが、たとえばシュナイダーの森の理論を使用して行うことができます。これについては、たとえばhttp://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/に講義ノートがあります。