境界のない部分的なハイパーツリー幅を持つCSP

$\acute{\rm a}$H ∈ P T I M $H$$H$$\in PTIME$

定義など

標準的なツリー分解とツリー幅の優れた調査については、こちらをご覧ください（前もってありがとう、JeffE！）。

してみましょう$H$ハイパーグラフも。

次に、ハイパーグラフとマッピング場合、γ ：E （H ）→ [ 0 、∞ $H$$\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty)$

$B(\gamma) =$ { }。$v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1$

さらに、weight（）=ます。Σ E ∈ E γ （E $\gamma$$\sum_{e \in E}\gamma(e)$

次に、分数ハイパーツリー分解 は、トリプル。ここで、（T 、（B T ）T ∈ V （T ）、（γ T ）T ∈ V （T ）$H$$(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$

• $(T, (B_t)_{t \in V(T)})$はツリー分解であり、 $H$
• $(\gamma_t)_{t \in V(T)}$は、すべてのから stへのマッピングのファミリーであり。 、[ 0 、∞ ）T ∈ V （T ）、B T ⊆ B （γ T$E(H)$$[0, \infty)$$t \in V(T), B_t \subseteq B(\gamma_t)$

その後、我々は言う幅のある {量 }。マックス（γ T）、T ∈ V （T $(T, (B_t)_{t \in V(T)}, (\gamma_t)_{t \in V(T)})$$\max$$(\gamma_t), t \in V(T)$

最後に、の分数hypertree幅 $H$、FHW（$H$）、の全ての可能な分数hypertreeの分解を超える幅の最小値である$H$。

質問

上記のように、CSPの基になるグラフの部分的なハイパーツリーの幅が定数によって制限されている場合、CSPを解くための多項式時間アルゴリズムがあります。ただし、リンクされた論文の最後には、無限のハイパーツリー幅を持つCSPインスタンスの多項式時間で解けるファミリが存在するかどうかは未解決の問題として残されました。（指摘する必要があります。この問題は、であるという前提の下で、制限付きツリー幅と非制限付きツリー幅（ACM引用）の場合に完全に解決されます。）さらに、私はこのサブフィールドの一般的な状態に比較的気づいていません。私の質問は次のとおりです。$FPT \ne W[1]$

ある何でも無制限端数hypertree幅のグラフを超えるのCSPの（で）扱いやすさについては知られては？

あなたは2つの論文にリンクしましたが、どちらも推測があります。Groheの2007年の推測を意味していると思います。

この質問は2008年に回答されました。

定理5. CSP（C、_）はNPにありますが、PにもNP完全にもありません（P = NPを除く）。さらに、集合Cは決定論的多項式時間で決定できます。$_0$$_0$

• Manuel BodirskyおよびMartin Grohe、制約充足の複雑さの非二分法、ICALP2008。doi ：10.1007 / 978-3-540-70583-3_16（PDF）

アイデアは、ラドナーが彼の定理のために導入した同じ遅延対角化技法によって、CLIQUEのインスタンスサイズに穴を空けることです。セットCは任意の大きなクリークが含まれており、クリークの分数ハイパーツリー幅はことに注意してください。したがって、中間の複雑さであるCSP（A、_）という形式のCSPを使用することができます。ここで、Aには境界のない部分的なハイパーツリーの幅があります。これは否定的であるグローエの推測に答えます。 n n /$_0$$n$$n/2$

同じ会議で、Chen、Thurley、およびWeyerは同じような結果の論文を発表しましたが、それは強力な埋め込みを必要とするため、技術的には推測に適した形式ではありませんでした。

• Yijia Chen、Marc Thurley、およびMark Weyer、Understanding the Complexity of Induced Subgraph Isomorphisms、ICALP2008。doi ：10.1007 / 978-3-540-70575-8_48（PDF）

最後に、任意のクラスのCSPインスタンスを、最悪の場合の分数ハイパーツリー幅の表現に変換できます。多くの場合、この変換は多項式でサイズが制限されており、多項式時間で実行できます。つまり、準同型同値であっても、無限の分数ハイパーツリー幅を持つCSPを簡単に生成できます。これらのCSPは、ターゲット構造が特別なので、CSP（A、_）の形式にはなりませんが、ソース構造のみを制限することによって定義されたCSPがそれほど興味深いものではないという、きちんとした理由を提供します。ソース構造の幅が広くなるように表現を変更することにより、CSPインスタンスのツリーのような構造を非表示にするのは簡単すぎます。（これについては、私の論文の第7章で説明しています。）