グラフからハイパーグラフに移行する際の根本的な困難は何ですか？

グラフ理論の問題を分析できる組み合わせ論とコンピューターサイエンスには多くの例がありますが、問題のハイパーグラフアナログでは、ツールが不足しています。なぜ2均一グラフよりも3均一ハイパーグラフの方が問題がはるかに困難になると思いますか？根本的な困難は何ですか？

1つの問題は、まだスペクトルハイパーグラフ理論を十分に理解していないことです。この問題について、もっと光を当ててください。しかし、ハイパーグラフをより困難なオブジェクトにする他の理由も探しています。

この質問で私が理解している「難易度」とは、「計算が難しい」ではなく、「勉強が難しい」ということです。

グラフの問題は、（少なくとも私にとっては）いくつかの概念がたまたま同等であるため、研究が容易です。言い換えると、グラフの質問をハイパーグラフの質問に一般化したい場合、「正しい」一般化に注意を払い、望ましい結果が得られるようにする必要があります。

たとえば、木について考えてみましょう。グラフの場合、グラフが接続されていてサイクルが含まれていない場合、グラフはツリーです。これは、接続されてn-1エッジ（nは頂点の数）を持つことと同等であり、サイクルを含まず、n-1エッジを持つことと同等です。ただし、3ユニフォームハイパーグラフの場合、3ユニフォームハイパーグラフが接続されており、サイクルを含まない場合は、ツリーであるとしましょう。ただし、これは、接続されてn-1個のハイパーエッジを持つこと、およびサイクルを含まず、n-1個のハイパーエッジを持つことと同等ではありません。

一様超グラフの規則性補題を証明する主な難しさは、規則性と関連する概念の正しい定義を思いつくことでした。

「スペクトルハイパーグラフ理論」を検討するときは、テンソルを調べたり、kユニフォームハイパーグラフを（k-1）次元の単体複素数として見たり、線形代数が自然に発生したりするホモロジーを調べたりすることができます。あなたの目的にとってどちらが「正しい」一般化であるかはわかりません。またはどちらも正しくない可能性もあります。

これは主に、Lawlerの「神秘的な2つの力」（パラメーター化された問題の多くがparam = 2のPとparam≥3のNP-completeにあるという観察）によるものだと思います。グラフは頂点の2つのタプルを結ぶものであり、ハイパーグラフはk≥3の頂点のkタプルを結ぶものです。

したがって、たとえば、2-SATはPにあり、本質的にグラフの問題ですが、3-SATは3つの均一なハイパーグラフの問題であり、NP完全です。

もう1つの理由は、nが2より大きい場合、他のどのn 項関係よりも2項関係の知識がはるかに多いためです。

当然、隣接、空でない交差、等価などのオブジェクト間のバイナリ関係を考慮します。そのため、グラフをバイナリ関係で定義したり、別のグラフのバイナリ関係に基づいてグラフを定義したりすることもできます。（たとえば、折れ線グラフ、クリークツリー、ツリー分解...）

しかし、他のn項関係については、あまり理解がありません。たとえば、興味深い三項関係を思い付くには時間がかかります。（さて、一部は私の無知のため）プロパティはより弱く、ツールは三元関係の研究でははるかに少なくなります。（対称または推移的な 3項関係をどのように定義するか？どちらも、研究できる最も重要な関係の1つです。）

しかし、なぜこれが二項関係と三項関係の間で発生するのかはわかりません。多分トルコ人が言ったように、この質問は難しく、P / NP問題の理解に関連しているかもしれません。

私は最初に間違った質問に答えるつもりでした：「問題のどの例がグラフよりもハイパーグラフではるかに難しいのですか」。私は特に、グラフの最大マッチング問題への対処の違い、およびハイパーグラフ（ペアワイズディスジョイントエッジのセット）と同様に、カラーリング、最大独立セット、最大クリークを非常に簡単にモデル化できることに感銘を受けました...

次に、それがあなたの質問ではないことに気付きました：「2つの間の根本的な難しさは何ですか？」

ええと、私は今まで、グラフとハイパーグラフの共通点をあまり見たことがないと答えます。名前自体は除きます。そして、多くの人々が結果を最初のものから他のものに「拡張」しようとしているという事実。

Bergeの "Hypergraphs"とBollobasの "Set systems"のページをめくる機会がありました。これらには多くの美味しい結果が含まれており、私が最も興味深いと思ったものはグラフについてはほとんど言及していません。たとえば、バラニャイの定理（ジュクナの本には良い証明があります）。

私はそれらの多くを知りませんが、私は今ハイパーグラフの問題について考えています、そしてそれについて言えることは私が周りに潜んでいるグラフを感じないということだけです。たぶん、私たちは間違ったツールでそれらを研究しようとしているだけなので、それらを「難しい」と考えています。私が取り組んでいるグラフの問題が、数論を使用してすぐに消えてしまうことは期待していません（たとえそれが時々起こるとしても）。

ああ、そして何か他のもの。組み合わせが多いので、勉強が難しいかもしれません。

「それらすべてを試してみて、いつ機能するかを確認する」ことは、グラフにとっては良い考えですが、ハイパーグラフの1つでは、数によってすぐに謙虚になります。:-)