シフトチェーンは2色可能ですか？

用$A\subset [n]$意味によってI I Tの時間の最小要素A。$a_i$$i^{th}$$A$

二人$k$ -elementセット、$A,B\subset [n]$、我々は、と言う$A\le B$あれば、私は ≤ bはIをすべてのための私。$a_i\le b_i$$i$

$k$ -uniformのハイパーグラフ${\mathcal H}\subset [n]$と呼ばれるシフト鎖任意ハイパーエッジのために、場合$A, B \in {\mathcal H}$、我々が持っている$A\le B$又は$B\le A$。（したがって、シフトチェーンには最大で$k(n-k)+1$ハイパーエッジがあります。）

ハイパーエッジが単色でないように頂点を2色で着色できる場合、ハイパーグラフ ${\mathcal H}$は2色可能です（またはプロパティBがあります）。

$k$が十分に大きい場合、シフトチェーンは2色可能ですか？

備考。私は最初にこの問題をmathoverflowに投稿しましたが、誰もそれについてコメントしませんでした。

問題は第1回Emlektablaワークショップで調査され、一部の結果が得られました。小冊子を参照してください。

質問は、凸形状の変換による平面の複数のカバーの分解によって動機付けられ、この領域には多くの未解決の質問があります。（詳細については、私の博士論文をご覧ください。）

以下のために$k=2$（12）、（13）、（23）：些細な反例があります。

非常に不思議な反例が、コンピュータープログラムでRadoslav Fulekによって$k=3$に対して与えられました。

（123）、（124）、（125）、（135）、（145）、（245）、（345）、（346）、（347）、（357）、

（367）、（467）、（567）、（568）、（569）、（579）、（589）、（689）、（789）。

ハイパーグラフが2つのシフトチェーン（同じ順序）の結合になるようにすると、任意の$k$反例があります。

更新。私は最近、このプレプリントでシフトチェーンのより制限されたバージョンが2色化可能であることを示すことができました。

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これは答えではありません。以下は、k = 3の構成が実際に反例であることの簡単な証明です。質問者はこの証明を知っていると思いますが、証明が素晴らしく、人々がより大きなkのケースを考慮するときに役立つかもしれないので、とにかくそれを投稿します。

それがシフトチェーンであることを確認するのは簡単です。プロパティBがないことを示しましょう。

実際、サブハイパーグラフ{（123）、（145）、（245）、（345）、（346）、（347）、（357）、（367）、（467）、（567）、（568）、 （569）、（789）}はすでにプロパティBを満たすことができません。これを見るために、このハイパーグラフに2色があり、c _iを頂点iの色と仮定します。3つのハイパーエッジ（145）、（245）、（345）を見てください。c ₄ = c _5の場合、1、2、および3はすべてc ₄と反対の色でなければなりませんが、これは単色のハイパーエッジ（123）になります。したがって、c ₄ ≠ c ₅である必要があります。同様に、

• C ₃ ≠ C ₄ 3つのハイパーエッジ（345）、（346）、（347）を比較し、hyperedge（567）気付いによって。
• C ₆ ≠ C ₇ 3つのハイパーエッジ（367）、（467）、（567）を比較し、hyperedge（345）気付いによって。
• c ₅ ≠ c ₆ 3つのハイパーエッジ（567）、（568）、（569）を比較し、ハイパーエッジに気づく（789）。

したがって、c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇です。しかし、これはc ₃ = c ₅ = c _7を意味し、ハイパーエッジ（357）を単色にします。これは、2色の仮定と矛盾しています。

おそらく私は何かを見逃していますが、確率的方法には良い下限があると思います：

$1/2$$2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$

$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$