「すべて異なるハイパーグラフの色付け」-既知の問題？

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次の問題に興味があります：XのセットXとサブセットX_1、...、X_nが与えられた場合、各X_iの要素がすべて異なる色になるように、kの色でXの要素の色付けを見つけます。より具体的には、すべてのX_iのサイズがkである場合を検討しています。これはいくつかの名前で文学で知られていますか？着色可能なインスタンスの特性と複雑さの結果を探しています（P vs. NP-hard）。たとえば、k = 2の場合、色付け可能なインスタンスは2部グラフに対応するため、多項式時間で問題を解決できます。

— ファルク・ヒフナー
ソース

ハイパーグラフの次数がDである場合、使用可能な色の最大数はTheta（D / log k）です。arxiv.org / abs

— arxiv.org/abs/1009.6144-daveagp

これらの種類のカラーリングを使用した教科書に興味がある場合は、amazon.com / Introduction-Hypergraph-Theory-Vitaly-Voloshin / dp /をご覧ください。ハイパーグラフのカラーリングのアプリケーションについて詳しく知りたい場合は、紙research.microsoft.com/en-us/um/people/moscitho/Publications/…–

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これは、k-均一ハイパーグラフの強いk-色を見つける問題として文献で知られていると思います。これは開始するのに適した場所です：[PDF]。

— ジェームズ・キング
ソース

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また、グラフ色付けと同じくらい困難です。ここで、は各をクリークにすることで形成されます。すべてののサイズがという制限は、頂点上のクリークで各エッジをカバーできることを意味します。 $k$ $G=(X,E)$ $E$ $X_i$ $X_i$ $k$ $G$ $k$

— サージガスパー
ソース

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k \geq 3

$k \ge 3$

k \leq 2

$k \le 2$

2

G

$G$

G

$G$

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$k$ $G = (V,E)$ $e = \{u,v\}$ $X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ $x(e,j)$ $k$ $G$

— ユッカ・スオメラ
ソース

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すべてのハイパーエッジが多色（または虹）であるカラーリングは、強いカラーリングとしても知られています。

ハイパーグラフの強い色付けは、ハイパーグラフのガイフマングラフの正確な色付けであることに注意してください。（ハイパーグラフのガイフマングラフ（またはプライマリグラフまたは2セクション）は、ハイパーエッジで一緒に表示される2つの頂点の間にエッジを追加することで形成されます。）

$k$ $r$ $H$ $k$ $H$ $r=2$ $k=2$ $k\ge 3$ $r <2$ $k\lt r$

$C$ $D$

— アンドラス・サラモン
ソース

問題のNP硬度の引用として何をお勧めしますか？上記の本？

— -domotorp

@domotorpいいえ、本は弱い着色に焦点を当てています。Jukkaの回答をご覧ください。

— アンドラスサラモン