タグ付けされた質問 「decision-trees」

がカラーリング数d = χ （G ）のグラフであると仮定します。アリスとボブの間の次のゲームを考えてみましょう。各ラウンドで、アリスは頂点を選択し、ボブはこの頂点に対して{ 1 、… 、d − 1 }の色で答えます。単色のエッジが検出されると、ゲームは終了します。ましょX （Gが）両方のプレイヤーによって最適なプレイの下でゲームの最大の長さ（アリスはできるだけゲームを短くしたい、ボブはできる限りそれを遅らせるために望んでいます）。たとえば、X （K n）= nGGGd=χ(G)d=χ(G)d = \chi(G){1,…,d−1}{1,…,d−1}\{1,\ldots,d-1\}X(G)X(G)X(G)X(Kn)=nX(Kn)=nX(K_n) = nおよび。X(C2n+1)=Θ(logn)X(C2n+1)=Θ(log⁡n)X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) このゲームは知られていますか？

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チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。 チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 n / 6）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 n / 2）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。 彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 n / 2の頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。 この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです： 誰でも〜2 n未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 n / 2）、またはO（2 2n / 3）で？あるいは、誰かがΩ（2 n / 2）より良い下限を与えることができますか？ （誕生日の逆説では、O（2 n / 2）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。） 誰かがΩ（2 n / 2）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 nは問題のサイズです。） 更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 n / 3）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 n / 2）までさらに限界を改善できると思います。

23 graph-algorithms  quantum-computing  randomized-algorithms  random-walks  decision-trees 

ウィキペディアは、カウントバージョンが難しいのに対し、決定バージョンは簡単な問題の例を提供します。これらのいくつかは、完全な一致を数え、222 -SAT の解の数とトポロジカルソートの数を数えています。 他の重要なクラス（格子、木、数論などの例）はありますか？そのような問題の大要はありますか？ 問題には多くの種類がありますPPP持っている#P#P\#P -hardカウントバージョンでは。 自然問題のバージョンがあるPPPより完全に理解または一般的な二部完全一致よりも簡単である（上の詳細を含めてください理由簡単ようであるとして証明可能の最も低いクラスでNCNCNC -hierarchyなど）いくつかの他にそのカウントバージョンれる特定の単純な二部グラフのための（例えば、数論、格子など）または少なくとも領域#P#P\#P -hard？ 格子、ポリトープ、ポイントカウント、数論からの例は高く評価されます。

20 reference-request  counting-complexity  nt.number-theory  permanent  decision-trees 

私たちは、リストの並べ替えしたいと仮定のの実数を。実数を即座にソートできるブラックボックスが与えられたと仮定します。このブラックボックスを使用してどれだけの利点を得ることができますか？SSSnnnn−−√n\sqrt n たとえば、ブラックボックスへの呼び出しのみで数値を並べ替えることはできますか？私が見つけた最良のアルゴリズムは、ブラックボックスへの呼び出しを使用しています。しかし、私はそれをさらに改善することができませんでした。merge-sortに似たアルゴリズムを次に示します。O （n−−√）O(n)O(\sqrt n)nnn 最初にリストをリスト分割します。サイズは約です。次に、ブラックボックスへの呼び出しを使用して、これらのリストを並べ替えます。最後に、次のようにブラックボックスを使用して、ソートされたリストをマージします。SSSn−−√n\sqrt ns1、s2、。。。、sn√s1,s2,...,sns_1, s_2, ..., s_{\sqrt n}n−−√n\sqrt nn−−√n\sqrt n リストの最小要素を新しいリストに入れ、ブラックボックスを呼び出してソートします。で数（第1の最小要素）で最小の数であろう。出力リストの最初の場所にそれを置くことができます。 要素を想定することから選択された我々は交換、ソートリストの二番目に小さい要素で、再度の二番目に小さい部材計算するためにその上にブラックボックスを実行。 すべての要素がソートされるまで続けます。この部分のブラックボックスコールの総数はLLLL [ 1 ]L[1]L[1]LLLSSSsjsjs_jL [ 1 ]L[1]L[1]sjsjs_jSSSn − n−−√n−nn - \sqrt n。したがって、全体的な呼び出しの総数はます。nnn 一方、次のようにソートに必要な数の比較の下限を使用して下限を取得できるはずです：を使用してブラックボックスを実装できます比較。ブラックボックスへの呼び出しと線形時間のマージで問題を解決できる場合、比較で実数をソートできますが、これは不可能です。n−−√lgn−−√= 12n−−√lgnnlg⁡n=12nlg⁡n\sqrt n \lg \sqrt n = \frac{1}{2} \sqrt n \lg no （n−−√）o(n)o(\sqrt n)nnno （n lgn）o(nlg⁡n)o(n \lg n) ブラックボックスで使用する多くの比較が共有されるため、がブラックボックスへの呼び出し数の下限であることを証明できると思います。Ω （n ）Ω(n)\Omega(n) 更新：他の投稿が示唆しているように、も実現可能です。n−−√lgnnlg⁡n\sqrt n …

20 ds.algorithms  sorting  decision-trees 

バックグラウンド 二分決定木TTTは、ルートからリーフへのパスがインデックスを繰り返さないように、各内部ノード（およびルート）がインデックスラベル付けされているルート付きツリー出力によってラベル付けされ、各エッジは左の子に対して、右の子に対してでラベル付けされ。入力ツリーを適用するには：{ A 、B } 0 1 xj∈{1,...,n}j∈{1,...,n}j \in \{1,..., n\}{A,B}{A,B}\{A,B\}000111xxx ルートから開始 リーフにいる場合は、リーフラベルまたはを出力して終了しますBAAABBB ラベル読むjjjあなたの現在のノードのを、もしxj=0xj=0x_j = 0その後、左の子に移動している場合xj=1xj=1x_j = 1、次に右の子に移動します。 ステップ（2）にジャンプします ツリーは、特に、我々は木言う、機能を評価するための方法として使用されているTTT合計関数を表しfffそれぞれについて場合x∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^n我々はT(x)=f(x)T(x)=f(x)T(x) = f(x)。ツリーのクエリの複雑さはその深さであり、関数のクエリの複雑さはそれを表す最小のツリーの深さです。 問題 バイナリ決定木Tが与えられると、TとT 'が同じ関数を表すような最小の深さのバイナリ決定木T'が出力されます。 質問 このための最も有名なアルゴリズムは何ですか？下限はわかっていますか？ことがわかったらどうしますか？T ′がほぼ最小の深さであることが必要な場合はどうでしょうか？depth(T′)=O(logdepth(T))depth(T′)=O(log⁡depth(T))\text{depth}(T') = O(\log \text{depth}(T))T′T′T' 素朴なアプローチ ナイーブアプローチには、が与えられ、深さd − 1のすべてのバイナリ決定木を再帰的に列挙し、それらがTと同じものに評価されるかどうかをテストします。これにはO （d 2 n n ！d=depth(T)d=depth(T)d = \text{depth}(T)d−1d−1d - 1TTTステップ（任意のxに対してT（x）が評価するものをチェックするのにdステップかかると仮定します）。より良いアプローチはありますか？O(d2nn!(n−d)!)O(d2nn!(n−d)!)O(\frac{d 2^n n!}{(n - d)!})dddT(x)T(x)T(x)xxx …

16 ds.algorithms  query-complexity  decision-trees 

バックグラウンド： 決定木の複雑さまたはクエリの複雑さは、次のように定義される計算の単純なモデルです。ましょうf：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }f：{0、1}n→{0、1}f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}ブール関数です。決定論的クエリの複雑fff付し、D （f）D（f）D(f)、入力のビットの最小数であり、X ∈ { 0 、1 }nバツ∈{0、1}nx\in\{0,1\}^n決定論的アルゴリズムによって（最悪の場合に）読み取られるその必要があることを計算するf（x）f（バツ）f(x)。複雑さの尺度は、読み取られる入力のビット数であることに注意してください。他のすべての計算は無料です。 同様に、を計算するゼロエラーランダム化アルゴリズムが予期して読み取る必要がある入力ビットの最小数として、で示されるラスベガスランダム化クエリの複雑さを定義します。ゼロエラーアルゴリズムは常に正しい答えを出力しますが、読み取られる入力ビットの数はアルゴリズムの内部ランダム性に依存します。（これが、予想される入力ビットの読み取り数を測定する理由です。）R 0（f ）f （x ）fffR0（f）R0（f）R_0(f)f（x ）f（バツ）f(x) で表されるモンテカルロランダム化クエリの複雑さを、を計算する有界エラーランダム化アルゴリズムで読み取る必要がある入力ビットの最小数として定義します。境界エラーアルゴリズムは常に最後に答えを出力しますが、超える確率（たとえば）で正しい必要があるだけです。R 2（F ）F （X ）2 / 3fffR2（f）R2（f）R_2(f)f（x ）f（バツ）f(x)2 / 32/32/3 質問 かどうかの質問について知られていること R0（f）= Θ （R2（f））R0（f）=Θ（R2（f））R_0(f) = \Theta(R_2(f))？ と知られている R0（f）= Ω （R2（f））R0（f）=Ω（R2（f））R_0(f) = \Omega(R_2(f)) なぜなら、モンテカルロアルゴリズムは、少なくともラスベガスのアルゴリズムと同じくらい強力だからです。 最近、2つの複雑さの間に既知の分離がないことを知りました。この主張に関して私が見つけることができる最新の参考文献は、1998年のものです[1]。 [1] Nikolai K. …

13 cc.complexity-theory  reference-request  query-complexity  decision-trees 

タイトルは少し誤解を招くかもしれません：しかし、うまくいけば質問はそうではありません： GrønlundとPettieの新しい結果ことを示す3SUMが唯一持っている決定木の複雑さに私は思っていました：O(n3/2)O(n3/2)O(n^{3/2}) 決定木の複雑さを持つ問題の簡単な例がありますが、それは下限（より詳細なモデル）を認めますか？O(f)O(f)O(f)ω(f)ω(f)\omega(f) 言い換えれば、3SUMの結果は、問題の複雑さの上限がよりも大幅に低くなる可能性についての見解をどのように変えるべきでしょうか？n2n2n^2

13 cc.complexity-theory  machine-models  decision-trees 

読み取り1回の決定ツリーは次のように定義されます。 および F a l s eは、1回だけの決定木です。TR U ETrueTrueFL S EFalseFalse 場合とBは、決定木一度読み出され、 xは変数を発生していないA及びBは、（X ∧ A ）∨ （ˉ X ∧ B ）また、リードワンス決定木です。AAABBBバツxxAAABBB（X ∧ A ）∨ （X¯∧ B ）(x∧A)∨(x¯∧B)(x \land A) \lor (\bar x \land B) 一度だけの決定木の等価性問題の複雑さは何ですか？ 入力：2つは読み取り一度決定木とB。AAABBB 出力：ある？A ≡ BA≡BA \equiv B 動機： この問題は、線形論理のフラグメントの証明等価問題（ルールの順列）を調べているときに発生しました。

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二分決定木（BDT）の一種の「通常の形式」を扱いやすい方法で提供する方法が存在するかどうか疑問に思っています。 より正確には、BDTはブール変数でラベル付けされた内部ノードとまたはラベル付けされた葉を持つツリーです。BDTはブール関数を明白な方法で表します。2つのBDTが同じ関数を表す場合、それらは同等です（）。000111A,BA,BA,BA∼BA∼BA\sim B BDTを入力して次のような他のデータ構造に変換する関数は存在しますか？fff fffはPtime f(A)=f(B)f(A)=f(B)f(A)=f(B)場合のみA∼BA∼BA\sim B fffには疑似逆、つまり、これもPtimegggg(f(A))∼Ag(f(A))∼Ag(f(A))\sim A たとえば、順序付けされた二分決定グラフの削減OBDDは2と3を検証しますが、1は検証しません。これは、変数の順序が間違っていると、出力が指数関数的なサイズになる可能性があるためです。 これは不可能かもしれないと感じていますが、その証拠はどこにもありません。 リッキー・デマーの提案についてさらにコメントするには： このペーパーでは、（Ptimeの等価クラス）および（Ptimeの完全な不変式）およびCF（Ptimeの標準形）クラスを定義します。彼らは、およびさまざまな（あまり考えられない）影響を研究していますが、これらの質問に対する明確な回答は提供していません。PEqPEqPEqKerKerKerPEq=KerPEq=KerPEq=KerKer=CFKer=CFKer=CF この質問に対するさまざまな否定的な回答（1＆＆2＆3は不可能）は、または ... として分離結果を提供します。これは、これまでのところ未解決の問題のようです。PEq≠KerPEq≠KerPEq\neq KerKer≠CFKer≠CFKer\neq CF

10 cc.complexity-theory  decision-trees