ラスベガスvsモンテカルロランダム化決定木の複雑さ

バックグラウンド：

決定木の複雑さまたはクエリの複雑さは、次のように定義される計算の単純なモデルです。ましょう $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ ブール関数です。決定論的クエリの複雑 $f$ 付し、 $D(f)$ 、入力のビットの最小数であり、 $x\in\{0,1\}^n$ 決定論的アルゴリズムによって（最悪の場合に）読み取られるその必要があることを計算する $f(x)$ 。複雑さの尺度は、読み取られる入力のビット数であることに注意してください。他のすべての計算は無料です。

同様に、を計算するゼロエラーランダム化アルゴリズムが予期して読み取る必要がある入力ビットの最小数として、で示されるラスベガスランダム化クエリの複雑さを定義します。ゼロエラーアルゴリズムは常に正しい答えを出力しますが、読み取られる入力ビットの数はアルゴリズムの内部ランダム性に依存します。（これが、予想される入力ビットの読み取り数を測定する理由です。） $f$ $R_0(f)$ $f(x)$

で表されるモンテカルロランダム化クエリの複雑さを、を計算する有界エラーランダム化アルゴリズムで読み取る必要がある入力ビットの最小数として定義します。境界エラーアルゴリズムは常に最後に答えを出力しますが、超える確率（たとえば）で正しい必要があるだけです。 $f$ $R_2(f)$ $f(x)$ $2/3$

質問

かどうかの質問について知られていること

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$ ？

と知られている

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

なぜなら、モンテカルロアルゴリズムは、少なくともラスベガスのアルゴリズムと同じくらい強力だからです。

最近、2つの複雑さの間に既知の分離がないことを知りました。この主張に関して私が見つけることができる最新の参考文献は、1998年のものです[1]。

[1] Nikolai K. Vereshchagin、ランダム化されたブール決定木：いくつかの発言、Theoretical Computer Science、Volume 207、Issue 2、1998年11月6日、Pages 329-342、ISSN 0304-3975、http： //dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975（98）00071-1。

他方に関して最もよく知られている上限は

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

[2]のため：

[2] Kulkarni、R.、＆Tal、A.（2013年11月）。分数ブロック感度について。計算複雑性に関する電子コロキウム（ECCC）（Vol。20、p。168）。

2つの具体的な質問があります。

[リファレンスリクエスト]：この問題について議論した最新の論文（1998年以降）はありますか？
さらに重要なのは、これらの2つの複雑さを分離するために推測される候補関数がありますか？

v2で追加：参照[2]を追加、候補関数の存在に関する2番目の質問を強調。

— ロビン・コタリ
ソース

回答:

私の知る限り、これはまだ開いています。これらの量といくつかの限界について言及しているごく最近の論文は、Aaronson et al：Weak parity（http://arxiv.org/abs/1312.0036を参照）です。また、Juknaの第14章：ブール関数と、Buhrmanとde Wolfによる1999年の調査（1998年のまだビート！）も見ることができます。ランダム化された決定ツリーの複雑さに関する別の非常に最近の論文はMagniez et al：http ://arxiv.org/abs/1309.7565です。

最後に、先月私が自分用に作成した短い要約（defsなし）：

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2（新規：[Gilmer-Saks-Srinivasan]：f st bs ^ 2（f）= O（C（f）））があります）

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <=（3R2）^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3（新規：[Tal]：bs <= deg ^ 2）

D <= N1 * deg

C <= bs * deg ^ 2 <= deg ^ 4

感度の推測では、sは他のパラメーターにも多項式的に関連しています。

— domotorp
ソース

これらの論文がラスベガス対モンテカルロのアルゴリズムの問題をどこで参照しているのか具体的に指摘していただけますか？これらの論文で探してみましたが、見つかりませんでした。

— ロビンコタリ

あいまいだった場合は申し訳ありません。これらの論文では質問について明示的に言及せず、異なるパラメーターに対する異なる不等式のみを取り上げています。質問の公開性に関する私の唯一の証拠は、もしそうでなければ言及されるということです。

— domotorp

ああ、私はあなたの意味を理解しています。私はこれらの論文を読みました。しかし、最近この問題が具体的に研究されているのだろうか。また、これら2つの複雑さを分離するために推測される関数があるかどうかを知りたいです。（人々が信じている場合、または、彼らは同じです。）

— ロビン・コタリ

Dからの最大の分離は、R0とR2の両方のNANDツリーであると推測されることを知っています。

— domotorp

この質問は解決されました！

数日前、Andris Ambainis、Kaspars Balodis、Aleksandrs Belovs、Troy Lee、Miklos Santha、Juris Smotrovsは、次の関数存在を示すプレプリントをアップロードしました。 $f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

そしてさらに

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$

$R_1(f)$

両方の分離は、ログ係数まで最適です！

— ロビン・コタリ
ソース

彼らの論文の新しいバージョンでは、これはほぼ2次のギャップに改善されており、ログファクターにタイトです。

— シャレフ