意思決定ツリーの複雑さと「真の」複雑さの間の証明可能なギャップ

タイトルは少し誤解を招くかもしれません：しかし、うまくいけば質問はそうではありません：

GrønlundとPettieの新しい結果ことを示す3SUMが唯一持っている決定木の複雑さに私は思っていました： $O(n^{3/2})$

決定木の複雑さを持つ問題の簡単な例がありますが、それは下限（より詳細なモデル）を認めますか？ $O(f)$ $\omega(f)$

言い換えれば、3SUMの結果は、問題の複雑さの上限がよりも大幅に低くなる可能性についての見解をどのように変えるべきでしょうか？ $n^2$

cc.complexity-theory machine-models decision-trees

要素の明確さは、一定の深さの二分決定木で解決できます。（「すべての要素は別個ですか？」）しかし、線形決定木を使用して問題を解決するには、深さが必要です。

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

— ジェフ14

決定木モデルは情報理論モデルです。入力について十分な情報を学習し、この情報から回答が一意に決定されると、作業は完了です。この情報から答えを決定することが決定できないかどうかは関係ありません。たとえば、入力がチューリングマシンをエンコードするnビットバイナリ文字列であり、このTMが停止するかどうかが問題である場合、深さnの決定木はすべてのnビットを知っているがアルゴリズムは解決できないため、この問題を簡単に解決できますこの問題。

— ロビンコタリ14

代わりに「単純な問題の例」と言ったほうがいいかもしれません:)。

— Suresh Venkat 14

回答:

Meyer auf der Heideは、深さ Subset Sumの線形決定木の非一様族について説明しました。同様の結果は、超平面配置での点の位置についてのMeiserの後のアルゴリズムから得られます。もちろん、問題はNP困難です。 $O(n^4\log n)$

— ジェフス
ソース

私が本当に教育的でありたいと思ったなら、NP-ハードであることは確固たる下限ではないことを指摘したいと思います。しかし、それは私が探しているものの精神の良い例です。

— スレシュヴェンカト

ええ、しかし、しっかりとした下限を証明する方法はわかりません。

— ジェフ

@Jɛﬀ Eこの結果の素晴らしい記事や説明をご存知ですか？オリジナルを理解するのは非常に難しく、一部の定義はまったくわかりません。

— domotorp

少なくとも基本的な定義は、線形縮退問題に関する私の論文で説明されています。

— ジェフ14

$O(n\log(\frac{m+n}{n}))$ $\Theta(n+m)$ $m=\omega(n)$

— セス・ペティ
ソース

少し意見を異にします。RAMモデルでは、必ずしも入力全体を読み取る必要はありません。チューリングマシンモデルには、ディシジョンツリー（またはRAMマシン）を使用して迅速に解決できる些細な問題が数多くあります。元の質問に対するロビンのコメントも参照してください。

— domotorp