ハードカウントバージョンの簡単な問題

20

ウィキペディアは、カウントバージョンが難しいのに対し、決定バージョンは簡単な問題の例を提供します。これらのいくつかは、完全な一致を数え、 $2$ -SAT の解の数とトポロジカルソートの数を数えています。

他の重要なクラス（格子、木、数論などの例）はありますか？そのような問題の大要はありますか？

問題には多くの種類があります $P$ 持っている $\#P$ -hardカウントバージョンでは。

自然問題のバージョンがある $P$ より完全に理解または一般的な二部完全一致よりも簡単である（上の詳細を含めてください理由簡単ようであるとして証明可能の最も低いクラスで $NC$ -hierarchyなど）いくつかの他にそのカウントバージョンれる特定の単純な二部グラフのための（例えば、数論、格子など）または少なくとも領域 $\#P$ -hard？

格子、ポリトープ、ポイントカウント、数論からの例は高く評価されます。

— T ....
ソース

1

おそらくあなたが望む自然 [非ゼロの数によって乗算答えは] HP-硬判定問題を抱えていること＃P-ハード下の[削減という問題、#SATからの還元による]と[アイデンティティ機能によって、{X以来、問題を： xは1+（number_of_variables_（れる

））のもの、または[に対して満足割り当て続くゼロ

]}＃P-ハード次の最も厳格な還元の種類、その判定バージョン下]は自明です。

ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

@RickyDemerあなたの文章は簡潔です。はい、自然な問題が欲しいです。

— T ....

二部グラフの完全一致を完全に理解していないのでしょうか？また、問題に対するRNC2アルゴリズムがあります。

— サショニコロフ

1

はい、ありません。決定論的な

N C

$NC$ アルゴリズムはありません。

— T ....

8

これは本当に素晴らしい例です（偏っているかもしれません）。

部分的に順序付けられたセットが与えられた場合：
a）線形拡張（つまり、部分的な順序と互換性のある全体的な順序）がありますか？自明：すべてのポーズには少なくとも1つの線形拡張があります
。b）いくつありますか？これを決定する＃P-complete（Brightwell and Winkler、Counting Linear Extensions、Order、1991）
c）それらをすべてすばやく生成できますか？はい、一定の償却時間で（Pruesse and Ruskey、Generate Linear Extensions Fast、SIAM J Comp 1994）

— ガラ・プルッセ
ソース

3

+1：それは本当に素晴らしい例だと思います（自分で投稿することを考えていて、この答えを見ました）。また、誰かが「他に少なくとも1つの線形拡張があるかどうかを判断する」と言わないように、その問題も完全に些細です。まったく比較できない要素のペアがある場合にのみ発生します）。実際、最大7つの線形拡張を持つポーズの完全な分類があります（Hanamura -Iwata、IPL 2011を参照）。

— ジョシュアグロチョフ16年

これは確かに良い例です。ただし、同じ種類のプロパティを楽しんでいる「より簡単な」問題があります（これらのプロパティを証明するのはほとんど簡単であるという意味で単純です）。DNFの満足できる割り当ての数を数える：a）すべての空でないDNFが満たされるb）カウントは＃P-complete（#SATに削減）c）列挙は多項式遅延（多分一定の償却時間、それについて考えるために）

— ホルフ

一定の償却時間（CAT）で割り当てを満たすDNFを生成できるかどうかを知りたいと思います。当時の1994年のフランクとの私の論文では、線形拡張は最初の「自然に定義された」オブジェクトでした。DNFソリューションもこれの有力な候補のようです。誰にも参照がありますか？

— ガラプリュセ

@GaraPruesse私はそのための参照を持っていません。モノトーンDNFの場合、ハイパーグラフのヒットセットを列挙することと同等であり、遅延を改善するためのいくつかの手法は、村上啓介と宇野武章dl.acm.org/citation.cfm？の「大規模ハイパーグラフを二重化するための効率的なアルゴリズム」に示されていますか？ id = 2611867。CATを提供するかどうかを確認する必要があります。DNFの場合、私の直感では、小さな節があれば、ブルートフォーシングに十分なソリューションが既にあるということです。それ以外の場合、大きな句のみが存在し、それらは衝突する可能性が高く、CATアルゴリズムの設計に使用できます。

— ホルフ

17

数論の興味深い例の1つは、正の整数を4つの平方の合計として表現することです。これは、ランダム多項式時間で比較的簡単に実行できます（Rabinのhttps://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713での1986年の記事を参照）。正しく覚えていれば、決定論的な多項式時間もあります。溶液。しかし、そのような表現の数を数えると、因数分解と同等のランダムな多項式時間である除数関数を計算できます。したがって、カウントの問題はおそらく難しいでしょう。 $\sigma(n)$ $n$

— ジェフリー・シャリット
ソース

あなたはおそらく意味「だからカウント問題はおそらく難しいです」

難しいですか？証拠はありますか？

# P

$\#P$

— T ....

「おそらく難しい」とは、整数因数分解と同等のランダムな多項式時間であることを意味します。

— ジェフリーシャリット

3

したがって、それを明確にするために：問題は＃P-hardではありません（すべての地獄が緩んでいない限り）。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

@JeffreyShallit

例はありますか？

# P

$\#P$

— T ....

次はもっと単純な例だと思います：「

は

より大きい適切な除数を持っていますか」vs「

は

より大きい正しい除数はいくつですか？」。決定バージョンは "

is composite" と同等であるため

にありますが、カウントバージョンはファクタリングよりも簡単に見えません。

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— ダンブルムレーヴ

17

グラフ理論の非常に素晴らしく簡単な例は、無向グラフのユーラリアン回路の数を数えることです。

決定版は簡単です（... KönigsbergのSeven Bridges問題には解決策がありません:-)

カウントバージョンは＃P-hard：Graham R. Brightwell、Peter Winkler： Counting Eulerian Circuitsは＃P-Completeです。ALENEX / ANALCO 2005：259-262

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

その論文の「私たちのアプローチは、オイラー回路を数えるオラクルの助けを借りて、チューリング機械が次のことができることを示すことです...」と「オイラーの方向の数

を計算したい

」段落区切り」「奇数の素数

について、オーブの数が

等しいグラフ

を作成します。

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$ を法

。』と」私たちは、間のすべての素数pに対してこのプロセスを繰り返し

および

、ここで

、そして...」確かに、彼らは唯一、並列化を与えることを示唆しているというよりも、

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

クエリの削減。

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasiはNCのオイラー回路決定ですか？

— T ....

1

@AJ。各ノードの次数のパリティを計算し、それらがすべて均等であることを確認する必要があります。間違いなくNCにいるようです。

— サショニコロフ

4

サイズの式または深さ

線形サイズ回路を使用して、

ビットのパリティを取得でき

。したがって、グラフが隣接行列として指定されている場合、各行のパリティを計算し、否定し、ANDを取ります。

ビットのANDは線形サイズの式で実行できるため、全体として

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

サイズのブール式と深さ

サイズのブール回路が得られ

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ （AND-ORベース）。したがって、問題は実際には

ます。

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— サショニコロフ

2

実際、問題は

ます。

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

6

2番目の質問に関して、Monotone-2-SAT（句ごとに最大2つの正のリテラルを持つCNF式の充足可能性の決定）などの問題は完全に簡単です（式が空かどうかを確認するだけです）カウントの問題は＃P-hardです。そのような式の満足できる割り当ての数を概算することさえ困難です（概算の難易度については、Dan Roth、人工知能、1996年を参照）。

— ホルフ
ソース

5

[Kayal、CCC 2009] ：明示的にいくつかの時点で消滅多項式を評価します

要約から：「これは、オブジェクト（この場合は消滅多項式）の存在を判断することが効率的に行える唯一の自然な計算問題ですが、オブジェクトの実際の計算は証明困難です」

ましょうフィールドであるとの集合である -many学位上変量多項式 -annihilating多項式である任意の（非自明な） ST $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

決定は容易である： オーバー任意のフィールド、および任意用多項式 -あればそのような消滅のあるのための。（（次元カウント引数を介して。））） $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

：カウントが難しい定義消滅-EVALをある時点で消滅多項式を評価する機能的問題として：プライム考える及びセット最小モニック消滅を持っている $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ 出力整数 $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

抹殺-EVALである -hard。また、消滅多項式ない限り小さな回路表現を持っていない崩壊します。 $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— ダニエル・アポン
ソース

1

マルツィオの例のように、その論文のクレーム15.2の証拠は、それらが平行還元のもとでではなく、硬度の低下のみを示していることを示しているようです

クエリの削減。

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

私が見つけることができるすべてのリソースは、定義に同意していないようです。あなたの答えが議論する問題をAEにしましょう。（...続き）

1

（続き...）

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$ DLOGTIME-uniform TC

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$ 。（...続き）

1

これまで私が見ることができる限り、それはない（...続き）ない従うことLWPP

MP

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ ポリ。

1

より一般的には、つまり、任意の

（

未満でも）の場合、ヤコビ基準のために決定は簡単ですよね？（ヤコビ基準は特性>

のみ機能することに注意してください。小さな正の特性では、Mittman-Saxena-Scheiblechnerによる修正ヤコビ基準がありますが、明らかに

決定のためのアルゴリズム...）

k

$k$

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

— ジョシュアグロチョウ